
- •5. Переходные процессы в линейных электрических цепях
- •5.1. Понятие о коммутации и переходных процессах
- •5.2. Методы анализа переходных процессов при импульсном воздействии
- •5.3. Классический метод анализа
- •5.4. Переходные характеристики цепей первого порядка.
- •5.5. Расчет переходных характеристик последовательного колебательного контура
- •5.6. Спектральный метод анализа переходных процессов
- •5.7. Операторный метод анализа
- •5.8. Метод интеграла Дюамеля
- •5.8. Связь между дифференциальным уравнением и характеристиками электрической цепи
5.6. Спектральный метод анализа переходных процессов
С
пектральный
метод применяется в тех случаях, когда
входной сигнал может быть представлен
спектром. Сигнал имеет спектр, когда он
обладает конечной энергией, т.е.
удовлетворяет условию:
.
Этапы применения метода (рис.5.18):
1) по известному сигналу находится его спектр:
– прямое преобразование Фурье;
2) по известной схеме электрической цепи определяется частотная функция цепи (частотная передаточная характеристика):
;
3) находится спектральная плотность выходного сигнала:
;
4) по известному спектру выходного сигнала находится сам выходной сигнал обратным преобразованием Фурье:
.
5.7. Операторный метод анализа
Операторный метод анализа основан на операторном представлении сигналов и использовании операторной функции цепи.
П
орядок
расчета переходных характеристик при
нулевых начальных условиях заключается
в следующем:
1) находим операторное представление входного сигнала прямым преобразованием Лапласа (5.3):
L[s(t)]=
(5.3)
2) находим операторную передаточную функцию цепи H(p). При нулевых начальных условиях она получается из комплексной передаточной функции заменой j на p:
;
3) умножением на операторную функцию цепи находится операторное представление отклика:
;
4) с помощью обратного преобразования Лапласа находим отклик цепи:
.
(5.4)
Обратное преобразование по (5.4) часто является сложным, поэтому в инженерной практике пользуются справочными таблицами.
При ненулевых начальных условиях операторная схема замещения кроме операторных сопротивлений (рис.4.36) содержит независимые источники напряжения или тока, характеризующие начальные запасы энергии в индуктивностях и емкостях. В этом состоит существенное отличие операторной схемы замещения от частотной схемы, которая отражает установившиеся процессы и поэтому не зависят от начальных условий.
С учетом начальных условий
,
отсюда, преобразуя по Лапласу, получаем
или
Э
тим
выражениям соответствуют схемы замещения,
приведенные на рис.5.20.
Изображение напряжения на конденсаторе записывается в виде:
,
или
.
С
хемы
замещения приведены на рис. 5.21.
Операторная схема замещения находится на основе законов Ома и Кирхгофа в операторной форме с учетом начальных условий.
З
акон
Ома в операторной форме. Пусть имеется
некоторая ветвь m – n
(рис. 5.22), выделенная из некоторой
сложной цепи. Замыкание ключа во внешней
цепи приводит к переходному процессу,
при этом начальные условия для тока
в ветви и напряжения
на конденсаторе в общем
случае ненулевые. Для мгновенных значений
переменных можно записать:
.
Тогда на основании приведенных соотношений получим:
.
Отсюда
,
где Z(p) = R + Lp + 1/Cp – операторное сопротивление рассматриваемого участка цепи, которое соответствует комплексному сопротивлению Z(j) ветви в цепи синусоидального тока при замене оператора р на j.
Слагаемое Li(0) представляет собой внутреннюю ЭДС, обусловленную запасом энергии в магнитном поле индуктивной катушки вследствие протекания через нее тока i(0) непосредственно до коммутации. Слагаемое UC(0)/p представляет собой внутреннюю ЭДС, обусловленную запасом энергии в электрическом поле конденсатора вследствие наличия на нем напряжения UC(0) непосредственно до коммутации. Внутренняя ЭДС Li(0) направлена согласно с направлением тока, внутренняя ЭДС UC(0)/p – встречно току.
Законы Кирхгофа в операторной форме.
Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма изображений токов, сходящихся в узле, равна нулю
.
Второй закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма изображений ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура:
,
где m – число ветвей, входящих в контур.
При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует помнить о необходимости учета ненулевых начальных условий (если они имеют место). С их учетом последнее соотношение может быть переписано в развернутом виде
.
Когда получается сложное изображение, которого нет в справочниках, то его раскладывают на более простые, используя теорему разложения L-изображения S(p).
Если изображение S(p) представлено в виде отношения двух полиномов от р, не имеющих общих корней:
,
причем
m
n, а уравнение M(p)
= 0 не имеет кратных корней
,
то для перехода к оригиналу можно
воспользоваться теоремой разложения
.
где M(p) – первая производная знаменателя по p: M(p)=dM(p)/dp.