§ 2. Основные характеристики волн

Мы уже знаем, что такое фронт волны или волновой фронт. Сделаем еще несколько определений, которые служат для характеристики волнового движения.

Линию, вдоль которой происходит распространение фронта волны, называют лучом.

Нетрудно сообразить, что в изотропной среде луч всегда нормален (перпендикулярен) к волновой поверхности. В изотропной среде все лучи представляют собой прямые линии. Каждая прямая, соединяющая точку, в которой находится источник волны, с любой точкой фронта волны, в этом случае является лучом.

Перемещение фронта волны в такой среде происходит с постоянной скоростью, поэтому за один период колебаний источника, создающего волны, фронт волны перемещается на строго определенное расстояние λ. Поскольку каждая точка в волне совершает вынужденные колебания, частота этих колебаний равна частоте колебаний источника волны.

Величину λ, характеризующую перемещение волновой поверхности за один период в зависимости от рода среды и частоты колебаний, называют длиной волны. Длину волны измеряют расстоянием, на которое перемещается, волновая поверхность за один период колебаний источника волн.

Другими словами, учитывая изложенное в § 1, можно сказать (см. рис. 1.2), что длиной волны является расстояние между двумя ближайшими точками бегущей волны на одном луче, которые колеблются в одинаковой фазе. (Докажите, что в расстоянии между двумя любыми точками бегущей волны, которые находятся на одном луче и колеблются в одинаковой фазе, всегда содержится целое число длин волн или четное число полуволн. Если же на луче взять две точки, колеблющиеся в противоположных фазах, то в расстоянии между ними всегда будет содержаться нечетное число полуволн.)

Для поперечных волн (см. рис. 1.3б) длиной волны является кратчайшее расстояние между двумя ближайшими выпуклостями или впадинами. Для продольных волн (см. рис. 1.3а) длиной волны служит кратчайшее расстояние между центрами двух соседних сгущений или разрежений.

Вспомним, что при распространении колебаний в среде происходит перемещение фазы (см. § 1). Скорость распространения колебаний в упругой среде называют фазовой скоростью волны. Так как фазовая скорость c в изотропной среде постоянна, то ее можно найти, разделив перемещение фазы волны на время, за которое оно произошло. Поскольку за время Т фаза волны перемещается на расстояние λ, то

Так как Т=1/ν, где ν – частота колебаний частиц в волне, имеем

(2.1)

Установлено, что в большинстве реально существующих сред фазовая скорость определяется только физическими свойствами среды и ее состоянием. Поэтому механические волны с разной частотой колебаний в заданном веществе распространяются с одинаковой скоростью (заметим, что это верно только при не очень большом различии в частоте колебаний).

Таким образом, определенной частоте колебаний ν в заданной среде соответствует единственное значение длины волны λ. При этом, как видно из формулы (2.1), большей частоте соответствуют более короткие волны в среде. Это дает возможность характеризовать волны в среде не частотой (периодом) колебаний частиц в них, а длиной волны λ. Здесь нужно помнить, что при переходе волны из одной среды в другую частота ν и период колебаний Т частиц в ней остаются постоянными, а длина волны λ изменяется в соответствии с изменением скорости V.

Заметим, что при уменьшении фазовой скорости пропорционально ей уменьшается и длина волны. Итак, характеризовать волны их длиной можно только тогда, когда все сравниваемые волны распространяются в одной и той же среде.

В предыдущем параграфе мы выяснили, что существуют два различных волновых движения: продольное и поперечное. В продольной волне, подобной звуковой волне, частицы среды, сквозь которую распространяются волны, колеблются вперед и назад параллельно направлению распространения волны. В поперечной волне, подобной волнам на веревке, показанным на рис. 2.1, частицы колеблются перпендикулярно к направлению распространения волн.

Зная отличительные черты каждого типа воли, мы можем определить природу волны в каждом случае. Мы знаем, что продольная волна, подобно звуковой, свободно проходит препятствия вроде решетки с параллельными брусьями. Разумеется, при этом можно ожидать некоторого уменьшения громкости, но в других отношениях звук останется без изменения. Точно так же волны, образованные на веревке, свободно пройдут через такую решетку, если колебания частиц веревки совершаются вверх и вниз параллельно щелям между брусьями, как показано на рис. 2.1а.

Н о если брусья горизонтальны, как показано на рис. 2.1b, то они остановят вертикальную поперечную волну. Здесь следует обратить особое внимание на то, что задержка волн произойдет только в том случае, если волна поперечная и колебательное движение среды перпендикулярно к щелям решетки.

Даже на таком простом примере мы видим, что продольные и поперечные волны могут распространяться существенно по - разному (вплоть до того, что поперечные волны после второго забора на рис. 2.1b не распространяются вовсе), причем это касается только поперечных волн.

В каждой точке на луче поперечной волны частицы среды колеблются перпендикулярно направлению ее распространения (волны, понятно, а не среды). Это свойство поперечной волны называется поляризацией. Давайте вспомним, что в школьном курсе геометрии утверждается, что две прямые однозначно определяют некую плоскость (кто не вспомнил, поверьте на слово: так оно и есть).

Плоскость, проходящая через луч, вдоль которого распространяется волна, и через направление колебаний частиц в ней называется плоскостью поляризации.

Эта плоскость может оставаться одной и той же при перемещении вдоль луча, в таком случае волна называется линейно поляризованной, а может как то менять свою ориентацию в пространстве, например, вращаться. Как это получается легко понять, если заставить человечка на рис. 2.1 не только болтать рукой вверх-вниз, но еще и вращать ею по кругу, изображая пропеллер. Тогда физики с умным видом говорят, что плоскость поляризации вращается. Из рис.2.1 в таком случае, в частности, очевидно, что после прохода такой волны сквозь первый заборчик плоскость поляризации вращаться перестанет, и беспрепятственно пройдет через второй заборчик.

Устройство вроде первого заборчика, которое «вырезает» из произвольной волны волну с линейной поляризацией, называется поляризатор, а вроде второго заборчика анализатор.

При изучении волн в упругих средах мы больше не будем сталкиваться с понятием поляризации, однако в оптике оно применяется очень широко. Но об этом позднее.

У словимся называть формой волны график, показывающий распределение в среде колеблющейся величины вдоль оси х в данный момент времени. На рис. 2.2а показана волна, имеющая в момент t синусоидальную форму (сплошная линия); с течением времени такая волна в однородной и изотропной среде смещается, сохраняя свою форму (пунктирная синусоида). Для несинусоидальных волн возможны два случая; когда: 1) форма волны при смещении сохраняется (рис. 2.2б); 2) при распространении в среде волна деформируется (рис. 2.2в).

Допустим, что источник колебаний вызывает в среде не простую синусоидальную волну, а некоторое множество таких волн, имеющих различные частоты, фазы и амплитуды. В результате сложения этих синусоидальных колебаний (будем называть их элементарными) в среде распространится некоторый сложный процесс. Если среда не обладает дисперсией, т. е. элементарные волны всех частот распространяются в ней с одинаковыми скоростями, то за некоторое время Δt каждая элементарная волна сместится на одну и ту же величину сΔt. Поэтому в момент t+Δt результат сложения «смещенных» синусоид оказывается таким же, как и в момент времени t.

Если же среда обладает дисперсией, т. е. скорость распространения колебаний в этой среде различна для различных частот, то элементарные синусоиды за время Δt в зависимости от своих частот получат различные смещения, вследствие чего результат их сложения в момент t+ Δt будет иной, чем в момент t. Таким образом, в среде с дисперсией сложная волна (которую всегда можно представить как совокупность синусоидальных волн с различными частотами, фазами и амплитудами) с течением времени изменяет свою форму.

В среде могут распространяться одновременно колебания, исходящие от разных центров колебаний. Если две различные системы волн, исходящих из разных источников, перекрываются в некоторой области, а затем снова расходятся, то дальше каждая из них распространяется так, как если бы она не встречала на своем пути другую. Этот принцип независимости распространения волн известен под названием принципа суперпозиции, он является весьма характерным для распространения волновых процессов.

Принцип суперпозиции легко проверить, бросив в воду два камня. После того как кольцевые волны, возникшие около мест падения камней, проникнув друг через друга, снова разойдутся, они будут представлять собою по-прежнему правильные круги с центрами в местах падения камней. Этот факт был замечен еще Леонардо да-Винчи, который писал: «В обширную и спокойную гладь воды брось одновременно два камешка на некотором расстоянии один от другого. Ты увидишь, что вокруг мест, куда упали камни, образуются две группы круговых волн; разбегаясь, они встречаются между собою — и тогда круги каждой группы проникают одни сквозь другие».

В области перекрытия волн колебания налагаются друг на друга, происходит сложение волн, в результате чего колебания в одних местах получаются более сильные, а в других — более слабые. Такое явление называется интерференция, и подробнее мы познакомимся с ним, когда будем говорить про оптику. В каждой точке среды результирующее колебание будет суммой всех колебаний, дошедших до данной точки.

Особенный интерес представляет тот случай, когда источники колебаний колеблются с одинаковой частотой, имеют одинаковые направления колебаний и одинаковые фазы или постоянную разность фаз. Такие источники называются когерентными. Как мы увидим ниже, в этом случае результирующее колебание в каждой точке среды имеет постоянную во времени амплитуду, зависящую от расстояний точки среды от источников колебаний. Такого рода сложение колебаний называется интерференцией от когерентных источников.