![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Раздел 10
- •Дифференциальные уравнения
- •Основные понятия дифференциальных уравнений
- •Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
- •Основные понятия дифференциальных уравнений первого порядка
- •1.3. Ду с разделяющимися переменными
- •1.4. Однородные ду первого порядка
- •1.5. Линейные уравнения
- •Метод и.Бернулли
- •1.6. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
- •Дифференциальные уравнения
- •Основные понятия ду высших порядков
- •Ду высших порядков, допускающие понижение порядка
- •I тип: ду вида .
- •II тип: ду вида ,
- •2.4. Интегрирование лоду второго порядка с постоянными коэффициентами
- •I. Корни характеристического уравнения действительны и различны: .
- •II. Корни характеристического уравнения действительны и равны: .
- •III. Корни характеристического уравнения комплексные числа: и .
- •2.5. Интегрирование лнду второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида
- •Алгоритм решения лнду второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью
1.3. Ду с разделяющимися переменными
Определение 1.7. Дифференциальное
уравнение вида:
,
(1.1)
где
зависит от
,
а
зависит от
,
называется ДУ с разделенными
переменными.
В этом уравнении переменные разделены, т.е. каждая из переменных содержится только в той части уравнения, где находится ее дифференциал.
Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем:
его общий интеграл.
Пример 1.3. Найти общее решение
уравнения
.
Решение. Интегрируем обе части равенства:
.
Получаем
.
Данное решение легко выразить в явном
виде
.
Пример 1.4. Решить задачу Коши для
уравнения
при начальном условии
.
Решение. Интегрируем обе части
равенства. Записываем для удобства
потенцирования произвольную постоянную
в виде
,
получаем
,
откуда
,
или
.
Подставляя в общее решение начальное
условие, найдем
:
.
Таким образом, функция
является искомым частным решением
данного ДУ.
Определение 1.8. Уравнение вида
(1.2)
называется ДУ с разделяющимися переменными.
Особенность уравнения (1.2) в том, что
коэффициенты при
и
представляют собой произведение двух
функций (чисел), одна из которых зависит
только от
,
а другая – от
.
Уравнение вида (1.2) легко сводится к
уравнению (1.1) путем почленного деления
его на
.
Получаем
.
Проинтегрировав, получаем общий интеграл
.
Замечания. 1) При проведении
почленного деления ДУ на
могут быть потеряны некоторые решения.
Поэтому следует отдельно решить уравнение
и установить те решения ДУ, которые не
могут быть получены из общего решения,
особые решения.
2) Уравнение
также
сводится к уравнению с разделенными
переменными. Для этого достаточно
положить
и разделить переменные.
Пример 1.5. Найти общее решение
уравнения
.
Решение. 1) Разделим переменные, приведем его к виду
.
2) Интегрируем каждую часть равенства:
а)
;
б)
.
3) Итак, получаем общее решение, причем является неявной функцией от .
.
Заменяя
на
,
можно представить решение и в таком
виде
.
Кроме этого, есть еще частное решение
,
графиком которого является горизонтальная
прямая
.
1.4. Однородные ду первого порядка
Определение 1.9. Функция
называется однородной функцией
-го
порядка (измерения) относительно
переменных
и
,
если при любом
справедливо тождество
.
Например, функция
однородная функция
первого порядка (измерения), так как
.
Функция
однородная функция
второго порядка, так как
.
Функция
есть однородная
функция нулевого порядка, так как
.
Определение 1.10. ДУ первого порядка
(1.3)
называется однородным относительно и , если функция есть однородная функция нулевого порядка относительно и .
Однородные ДУ преобразуются в ДУ с
разделяющимися переменными путем
подстановки
и
.
Находим его общее решение (или общий
интеграл). Затем следует заменить в нем
на
.
Получаем общее решение (или общий
интеграл) исходного уравнения.
Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме:
(1.4)
где
и
однородные функции
одинакового порядка.
Общее решение или общий интеграл ДУ (1.4) находится по той же схеме, как и для однородного ДУ (1.3).
Пример 1.6. Решить ДУ:
.
Решение. Данное уравнение является
однородным, т.к. функции
и
однородные функции
второго порядка.
Сделав подстановку
и
,
получаем:
.
Последнее уравнение является ДУ с разделяющимися переменными. Разделяем переменные, получаем:
.
После интегрирования и преобразования имеем:
.
Заменяем
на
,
получаем
общий интеграл
исходного уравнения.
Замечание. Уравнение вида
,
где
числа, приводится
к однородному или с разделяющимися
переменными. Для этого вводят новые
переменные
и
,
положив
,
,
где
и
числа. Их подбирают
так, чтобы уравнение стало однородным.