22

Раздел 10

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1. Дифференциальные уравнения

ПЕРВОГО ПОРЯДКА

1. Основные понятия дифференциальных уравнений

При решении различных задач математики, физики, химии, экономики и других наук часто пользуются математическими моделями в виде уравнений, связывающих независимую переменную, искомую функцию и ее производную. Такие уравнения называются дифференциальными (термин принадлежит Г. Лейбницу, 1676 г.). Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Так, решением уравнения является функция  первообразная для функции .

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Рассмотрим две физические задачи, решение которых приводит к дифференциальным уравнениям. Но заметим, что при решении задач физического характера, приводящих к дифференциальным уравнениям, основную трудность представляет, как правило, составление самих дифференциальных уравнений. Здесь нет общего метода, и каждая задача требует своего подхода, основанного на знании соответствующего закона физики.

Задача 1 (движение материальной точки).

Материальная точка массы замедляет свое движение под действием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скорости . Найти зависимость скорости от времени.

Решение. Примем за независимую переменную время , отсчитываемое от начала замедления движения материальной точки. Тогда скорость точки будет функцией , т.е. . Для нахождения воспользуемся вторым законом Ньютона (основным законом механики): , где  есть ускорение движущегося тела,  результирующая сила, действующая на тело в процессе движения.

В данном случае  коэффициент пропорциональности (знак минус указывает на то, что скорость тела уменьшается). Следовательно, функция является решением дифференциального уравнения

или , где  масса тела.

Это же уравнение можно записать так

.



Задача 2 (радиоактивный распад).

Экспериментальным путем установлено, что скорость радиоактивного распада пропорциональна количеству нераспавшегося вещества. Считая, что начальное количество вещества , найти зависимость между количеством нераспавшегося вещества и временем .

Решение. Скорость радиоактивного распада равна производной от количества вещества по времени , т.е. . Учитывая условие, получаем следующее дифференциальное уравнение

,

где  коэффициент пропорциональности.

Знак минус берется потому, что с возрастанием количество вещества уменьшается, а значит, производная не положительна.

Можно убедиться, что частным решением данного уравнения является функция

.



Определение 1.1. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и ее производные . ДУ записывается так:

или

.

Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, то ДУ называется обыкновенным, в противном случае – ДУ в частных производных.

Определение 1.2. Порядком ДУ называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Например, уравнение  обыкновенное ДУ первого порядка; уравнение  ДУ третьего порядка;  ДУ в частных производных первого порядка.

Определение 1.3. Решением ДУ называется функция, которая при подстановке ее вместе с производной в это уравнение превращает его в тождество.

Например, для уравнения функции вида , или , где  любые постоянные, являются решениями данного уравнения. Например, для уравнения функция вида , где , является решением данного уравнения.