
- •1. Потужність множини. Зчисленні множини та їх властивості. Множини n, z, q, r та їхні потужності.
- •2. Числова послідовність та її границя. Основні властивості границі. Границя обмеженої монотонної послідовності. Число е.
- •3. Дійсна функція дійсної змінної. Границя функції дійсної змінної у точці. Властивості границь.
- •4.Неперервність функції у точці. Приклади неперервних функцій. Властивості неперервних функцій.
- •5. Неперервність функції на множині. Властивості неперервних функцій на обмежених замкнених множинах.
- •6. Похідна функції дійсної змінної та її основні властивості. Диференційовність та диференціал функції.
- •7. Частинні похідні функції кількох змінних. Диференційовність та диференціал функції кількох змінних. Необхідна і достатня умова диференційовності.
- •8. Основні теореми диференціального числення. Теореми Ролля, Лагранжа, Коші, формула Тейлора.
- •9. Застосування диференціального числення до дослідження властивостей функцій. Умови сталості, монотонності, екстремумів.
- •Достатні умови існування екстремуму функції. Теорема. Нехай - критична точка функції , неперервна в точці і має похідну в усіх точках околу за виключенням, можливо самої точки . Тоді
- •10. Застосування диференціального числення до дослідження властивостей функцій. Опуклість і точки перегину.
- •11. Первісна та її властивості. Невизначений інтеграл. Основні способи інтегрування. Таблиця невизначених інтегралів від основних елементарних функцій.
- •12. Інтеграл Рімана для функції однієї змінної. Основні властивості. Критерій інтегровності.
- •13. Основні класи інтегровних за Ріманом функцій.
- •14. Розвиток поняття степеня з дійсним показником. Вл-сті степеня. Загальна степенева функція дійсної змінної (озн., власт., графік).
- •15. Показникова і логарифмічна функції дійсної змінної (озн., непер-сть та ін. Власт., графіки).
- •16. Тригонометричні та обернені тригонометричні ф-ції дійсн. Змінної (озн., неп-сть та ін. Вл-сті, графік).
- •17. Поняття метричного простору. Приклади метр. Пр-рів. Збіжні послідовності в метр. Пр-рах.
- •19. Числові ряди. Геометрична прогнесія та гармонійний ряд. Властивості збіжних рядів.
- •20. Додатні ряди. Основні ознаки збіжності додатних рядів. Ряди з довільнии членами . Абсолютно й умовно збіжні ряди.
- •21. Степеневі ряди. Інтерв. І рад. Зб-сті. Теор. Абеля та Адамара.
- •22. Ряд Тейлора для дійсної функції дійсної змінної. Розкладання у степеневий ряд основних елементарних функцій.
16. Тригонометричні та обернені тригонометричні ф-ції дійсн. Змінної (озн., неп-сть та ін. Вл-сті, графік).
Озн.: Косинусом гострого кута прямок. трик-ка наз. віднош. прилег. катета до гіпотенузи. Синусом – відношення протил. катета до гіпотенузи. Тангенсом – віднош. протилежного катета до прилеглого. Котангенсом – віднош. прилеглого катета до протилежного.
arcsin числа а , а є[-1, 1] наз. таке число b з проміжка [-п/2, п/2], синус якого = а. arccos ч-ла а, а є[-1, 1] наз. ч-ло b з відрізка [0, п], соsb=a. arctg ч-ла а наз таке ч-ло b з інтервала (-п/2, п/2), tgb=a. arcctg a наз. ч-ло b з інтервала (0, п), ctgb=a.
Похідні: (sinx)'=cosx.
Дов.:
∆f=sin(х0+∆х)-sin(х0)=2sin(∆х/2)·cos(х0+∆х/2).
f'=
,
-
перша чудова границя. (sinx0)'=cosx0.
Довед.
(cosx)'=-sinx,
(tgx)'=1/cos2x,
(ctgx)'=1/sin2x,
(arcsinx)'=1/
,
(arccosx)'=-1/
,
(arctgx)'=1/(1+x2),
(arcctgx)'=-1/(1+x2).
Розклад в ряди:
17. Поняття метричного простору. Приклади метр. Пр-рів. Збіжні послідовності в метр. Пр-рах.
Метрикою
на даній множині Х наз. ф-я 2-х аргументів
ρ(х,у), для якої викон. 3 аксіоми: 1) акс.
невідємності: ρ(х,у)
0
для
х,уЄХ.
При чому, ρ(х,у)=0
x=y.
2) симетричності: ρ(х,у)=ρ(у,х)
х,уЄХю
3) трикутника:
х,у,
zЄХ
: ρ(х,z)
ρ(х,у)+ρ(y,z).
Метр.
пр-р:
мн-на, яка наділена метрикою.
Прикл.
МП: 1. Rn-
n-вим.
арифм. пр-р. 2. С[a,
b]
– пр-р непер. ф-й на [a,
b]
, ρ(х,у)=
|y(t)-x(t)|.
3.
Пр-р квадратичних сумовних послідовностей
l2.
Точками
простору є такі послідовності дійс.
ч-л, для яких ряд, складений з квадратів
є збіжним. ρ(х,у)=
-
метрика.
Озн.: Фіксуємо т. а пр-ру Х і фіксуємо певний додат. радіус r. Відкритою кулею з ц. в т. а, рад-са r в даному пр-рі наз. мн-на всіх таких т. цього простору, відст. від яких до даної т. а є меншою r. Якщо r, то куля замкнена.
ε- околом даної т. наз. відкрита куля з ц. в цій т. радіуса ε.
Посл-сть хn даного простору наз. збіжною до т. а цього ж пр-ру, якщо для дов. ε-околу т. а знайдеться такий номер n0 , що для всіх нарут. ч-л n з виконання умови n>n0 => що xn попадає в ε-окіл т. а. Інакше кажучи, викон. нер-сть ρ(xn,а)<ε.
18. n-вим. евклідів простір Rn як узагальнення просторів R1, R2, R3.
Метрикою на даній множині Х наз. ф-я 2-х аргументів ρ(х,у), для якої викон. 3 аксіоми: 1) акс. невідємності: ρ(х,у) 0 для х,уЄХ. При чому, ρ(х,у)=0 x=y. 2) симетричності: ρ(х,у)=ρ(у,х) х,уЄХю 3) трикутника: х,у, zЄХ : ρ(х,z) ρ(х,у)+ρ(y,z). Метр. пр-р: мн-на, яка наділена метрикою.
Поняття
функції
однієї змінної — цілком природно, за
аналогією, узагальнюється на довільну
кількість п
змінних з одночасним переходом від
простору R2
(площини) до п-вимірного
простору Rn.
Подамо далі докладне теоретичне
обґрунтування такого узагальнення.
Множину,
елементами якої є всі можливі набори
впорядкованих n
дійсних чисел, позначають Rn.
У цій множині
означують поняття відстані між будь-якими
двома її елементами.
Відстань
між
елементами
і
,
подається у вигляді ρ(х,у)=
.(1)
Озн.
Множина Rn
із введеною на ній відстанню називається
n-вимірним
простором Rn,
число n
— розмірністю
цього простору. Елемент
Î Rn
називається точкою
простору Rn,
число хі,
,
— і-ю
координатою
цієї точки. Точки
n-вимірного
простору Rn
утворюють
і-ту
координатну вісь
простору. Точка 0 = (0, 0, …, 0) називається
початком
координат.
Простір R1
з елементами х
= х1
— числова пряма. Простори R2
і R3
з елементами х
= (х1,
х2)
і х =
(х1,
х2,
х3)
являють собою відповідно площину і
тривимірний простір.
У просторі Rn
можна означити поняття суми
елементів і
добутку
елемента на дійсне число:
якщо
то
(2)
Як відомо з лінійної
алгебри, множина Rn,
в якій формулами (2) визначено суму її
елементів та добуток будь-якого елемента
на дійсне число, є лінійним
векторним простором.
Точку х = (х1,
х2,
…, хn)
простору Rn
називають вектором,
а числа хі,
— його координатами в базисі е1=(1,0,…,0),…,
еп=(0,0,…,1).
У лінійному
векторному просторі можна означити
скалярний
добуток (х, у),
ставлячи у відповідність двом векторам
х
= (х1,
х2,
…, хn)
і у
= (у1,
у2,
…, уn)
число
(3)
Лінійний
векторний простір Rn,
для елементів якого формулою (3) означено
скалярний добуток, називається n-вимірним
евклідовим простором.