13. Основні класи інтегровних за Ріманом функцій.

Т1: «Якщо функція f неперервна на на - то на цьому відрізку вона інтегровна за Ріманом». Т2: «Якщо f – монотонна на на , то на цьому відрізку вона інтегрована за Ріманом ». Т3: «Якщо обмежена функція f – обмежена на , має скінченну множину точок розриву першого роду, то на цьому відрізку вона інтегрована за Ріманом ».

Т. 2: Дов. Нех. ф-я f є монот. зрост. на [a, b]. Тоді m_k приймаються в точках x_k-1, а M_k - в т. x_k, на правих кінцях відрізків розбиття.

¯S-_S=

=λ{(f(x₁)-f(x₀))+(f(x₂)-f(x₁))+…+(f(x_n)-f(x_n-1))}=λ(f(b)-f(a)) – н. м. 0

Отже, ¯S-_S0. Згідно з крит. інт-сті ф-я буде інтегровна. дов.

14. Розвиток поняття степеня з дійсним показником. Вл-сті степеня. Загальна степенева функція дійсної змінної (озн., власт., графік).

1) Нех. показн. степеня має вигл. 1/n Розгл. ф-ю x^1/n, як оберн. до ф-ї xⁿ, n- фіксов. nєN, n>1. f(x)=xⁿ - монот. зрост., неперервна. Мож. застос. теор. про оберн. ф-ю. Оберн. ф-я є монотонно зростаючою і неперервною. Оберн. ф-я:

2) Нех. x^m/n=(x^1/n)^m . В рез-ті ми отрим. поняття степеня з дов. рац. показником.

3) Лема: Нех. r_n– посл. рац. ч-л, які прямують до 0. Нех. а –const, a>0, 1.

Дов. Можл. 2 вип.: 1). a>1; 2) 0<a<1. 1). a>1, r_n=1/n, =a^1/n. a>1, то a^1/n>1. a^1/n=1+α_n. α_n – н. м. Піднес. до степ. a=(1+α_n)ⁿ≥1+nα_n 3а Бернуллі.

nα_n≤a-1. α_n≤(a-1)/n – н. м.

Нех. r_n довільне. r_n0 рано чи пізно потрапить в окіл 0. -1/m<r_n<1/m.

a^-1/m< <a^1/m. 1. Дов.

4) Степ. з дов. дійс. показником. Показник є іррац. число. Нех. х- ч-ло, що є показ. степеня і можливо ірраціональне. Його можна наблизити рац. ч-лами. Існує рац. r_nх. а^х= , коли r_nх.

Дов. що посл. існує. ρ_nх прямує до х зростаючи.

а^х= = * = . Перша границя існує за теор. Вейєрштрасса, друга =1 за лемою. довед.

5)Заг. степенева ф-я х^а, а – стала. Ф-ція виду , де – називається показниковою.

Вл степеня: (степені з довільним показником розглядаються тільки для додатніх основ: )

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Степенева ф-ція (де показник – натуральний, з цілим від’ємним показником, з додатнім раціональним, з раціональним показником, з ірраціональним показником).

Þ Þ , тобто загальна степенева функція – є композицією логарифмічної та показникової. – монотонно зростає і неперервна, показникова – монотонна і неперервна на проміжку . Якщо – то загальна степенева функція – зростає, якщо Якщо – спадає.

15. Показникова і логарифмічна функції дійсної змінної (озн., непер-сть та ін. Власт., графіки).

Озн. Ф-ція виду y=a^x, де – називається показниковою.

Область визначення . Якщо Þ Þ . За означенням . За означенням . Якщо , . Якщо - ірраціональне число

Множина значень ;

;

у=a^x – неперервна на R; Покажемо це:

Л.: Нех. ∆х0, тоді а^∆х1, ∆х – н. м.

Дов.: m-велике натур. число, -1/m<∆х<1/m. Нех. а>1. a^-1/m<a^∆х<a^1/m.

a^-1/m1, a^1/m1 =>a^∆х1. Довед.

1). ∆f=f(х₀+∆х)-f(х₀)=а^х0+∆х-а^х0=а^х0·а^∆х-а^х0=а^х0(а^∆х-1). а^х0- конст., (а^∆х-1) – н. м., отже ∆f –н. м. Тоді ф-я є неперервною, неп-сть обгрунтовано.

2). Ф-я є монотонною.

у=a^x – монот. і непер., за теор. про існув. оберн. ф-ї, існує ф-я, оберн. до показникової і в цьому інтервалі ф-я монот. і неперервна. Її наз. логарифмічною. log_ay=x.