4.Неперервність функції у точці. Приклади неперервних функцій. Властивості неперервних функцій.

Озн. Функція називається неперервною в точці х₀, якщо границя функції в цій точці існує і рівна значенню функції в цій же точці.

Озн2. Функція називається неперервною в точці х₀, якщо для " послід. (х_n)® х₀ відповідна послідовність (f(x_n))®f(x₀), n®∞ .

Є поняття неперервності справа і зліва. Ввод аналогічно, що і для неперервн у точці (позн ).

Примітка. Якщо функція неперервн. зліва і справа, то вона неперервна в цій точці.

Озн. Функція називається неперервною на множині М, якщо вона неперервна в кожній точці цієї множини.

Приклади неперервних функцій: функція степенева, показникові, ф-ція у вигляді многочлена.

Озн. Функція називається складаною, якщо вона утворена в наслідок послідовного застосування декількох функцій.

Теор. про вл-сті непер. ф-й: 1)Нехай функції f(x), g(x) задані на одній множині, і вони неперервні в точці х₀ , тоді функції f(x)± g(x), f(x)*g(x), (f(x)/g(x) де g(a)≠0) – неперервні; 2) якщо x=g(t) – неперервна в t₀ і y=f(x)- неперервна – x=g(t₀), то y=f(g(t))=F(t) – неперервна в т t₀.

Дов. 1) Для добутку:

2) Скорист. озн. за Гейне. Виберемо довільну послідов. значень аргумену (t_k)®t₀ тоді за озн. 2 відповід (x_k)®x₀ . Із останнього факту Þ якщо (x_k)®x₀, то із озн2 застос до 2-ої функції Þ (f(x_k))®f(x₀)=f (g(t₀)) Þ складена функція – неперервна.

Точки, в яких функція не є неперервною називають точками розриву (Типи: усувний(ліва=права,границя не відповідає значенню функції в цій точці), 1ий рід(існують різні ліві та праві границі), 2ий рід(не існую хоч одна ліва або права границя, а бо вона рівна ∞))

5. Неперервність функції на множині. Властивості неперервних функцій на обмежених замкнених множинах.

Озн.1: Ф-я f наз. непер. на даній мн-ні, якщо вона непер. в кожній т. цієї мн-ни.

Озн.2: Мн-на К в даному метр. пр- рі Х, К Х наз. компактом, якщо з кожної нескінч. посл-сті ел-тів цієї мн-ни мож. виділ. таку підпосл-сть, яка є збіж. до деякої т. самої мн-ни К. Пр. відрізок- компакт, інтервал –не компакт.

Т. Вейєрштрасса(І) про обмеженість непер. ф-ї на компакті.

Нех. ф-я f є ф-єю з числов. значеннями, яка є непер. на даному компакті К. Тоді f – є обмеж. на даному компакті.

Дов. Від супрот. Прип., що f не є обмеж. на даному компакті К. Тоді наше прип. означає, що для кожного ч-ла , що |f(x_n)|>n.

Розгл. посл. (x_n) з компакта. Згідно з означ. компакта, така підпосл. х_nj, яка є збіж. до деякої т. з цього комп. х_njх, хЄК. => Згідно з озн. Гейне: f(х_nj)f(х) . З одного боку буде мати скінч. границю, а з ін. боку вона буде мати нескінч. границю, оск. |f(x_nj)|>n_j∞ Протиріччя. Прип. хибне.

Т. Вейєр. (ІІ) Якщо ф-я f прийм. числові значення і є непер. на даному компакті К, то на цьому компакті можна знайти такі точки, в одній з яких вона прийм. найбільше, а в іншій – найменше знач.

Т. Кантора Якщо ф-я непер. на компакті, то на цьому компакті вона буде рівном. непер.

6. Похідна функції дійсної змінної та її основні властивості. Диференційовність та диференціал функції.

Нехай в деякому проміжку _Х визначена функція у=f(х). Виберемо довільну точку х₀ЄХ і надамо х₀ приросту ∆х такого, що х+∆хЄХ. Зазначимо, що ∆х може бути як додатним, так і від'ємним. При цьому функція одержить приріст ∆у=f(х₀+∆х)-f(х₀). Нехай в точці х₀ існує границя . Похідною функції у=f(х) в точці х₀ називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля. Похідну функції у=f(х) в точці х₀ позначають так: у'(х₀) або f'(х₀). Отже, за означенням f'(х₀)= .

Якщо функція у=f(х) має похідну в кожній точці хЄХ, то похідна є функцією від х і в цьому випадку позначається так: у'(х)або f'(х).

Функція у=f(х) називається диференційовною в точці х₀, якщо її приріст у цій точці можна подати у вигляді ∆у=А∆х+α(∆х), (1) де _А - деяке число, не залежне від ∆х, а α(∆х) - нескінчено мала функція при ∆х0, тобто . Диференціал- лінійна частина приросту, А∆х- диференціал. Зв'язок між диференційованістю функції у=f(х) в точці х₀ і існуванням похідної даної функції в цій точці установлюється наступною теоремою.

Теорема. Для того, щоб функція функції у=f(х) була диференційована в точці х₀, необхідно і достатньо, щоб вона мала в цій точці скінчену похідну. Доведення. Необхідність. Нехай функція у=f(х) диференційована в точці х₀, тобто її приріст можна подати у вигляді (1). Тоді = . Звідси випливає, що в точці х₀ існує похідна f'(х₀)=А. Достатність. Нехай функція у=f(х) має в точці х₀ похідну f'(х₀). За означенням похідної маємо =f'(х₀). За властивістю границі є нескінченно малою функцією при ∆х0. Отже, ∆у-f'(х₀)∆х=α(∆х)∆х, тобто ∆у=f'(х₀)∆х+α(∆х)∆х, де f'(х₀) - деяке число, а .

Зауваження. Вираз не визначений при ∆х0, а отже, за цієї умови не визначений вираз (1). Щоб позбутися цієї невизначеності достатньо покласти α(0)=0.Зв'язок між диференційованістю і неперервністю функції розкривається в наступній теоремі.

Теорема . Якщо функція у=f(х) диференційована в точці х₀, то вона в цій точці неперервна.

Наслідок. Якщо функція у=f(х) в кожній точці деякого проміжку має скінчену похідну, то на цьому проміжку вона неперервна. Зауваження. Неперервність функції в даній точці не є достатньою умовою її диференційованості. Наприклад, функція у=|x| неперервна в точці х=0 , але в цій точці, як вона не диференційована.

Основні правила диференціювання

Теорема 1. Похідна сталої дорівнює нулю, тобто якщо у = с, де с = const, то . Теорема 2. Похідна алгебраїчної суми скінченної кількості диференційовних функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих функцій: . Теорема 3. Похідна добутку двох диференційовних функцій дорівнює добутку першого множника на похідну другого плюс добуток другого множника на похідну першого: . Теорема 5. Якщо чисельник і знаменник дробу диференційовні функції (знаменник не перетворюється в нуль), то похідна дробу також дорівнює дробу, чисельник якого є різницею добутків знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадратом знаменника початкового дробу .

Приклад. Обчислити похідну для функції у = tg x.

Рівняння дотичної до графіка функції f(х) в т. М₀(х₀,f(х₀)): у-f(х₀)=f'(х₀)(х-х₀). Геом. зміст похідної: кутовий коеф. дотичної.