21. Степеневі ряди. Інтерв. І рад. Зб-сті. Теор. Абеля та Адамара.
Степ. рядом наз. ряд наступного виду Σ∞n=0an(x-x0)n=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+… Отже, областю зб-сті цього ряду проміжок з ц. в т. х0, а відст. від х0 до кінців цього проміжка наз. радіусом зб-сті. На кінцях можливо, що ряд збігається і розбігається, можливо і те, і те одночасно на різних кінцях. Відповідний інтервал, якщо вилучити кінці, наз. інтервалом зб-сті.
Т. Абеля: Нех. дано степ. ряд Σ∞n=0an(x-x0)n і нех. відомо, що в т. х1 він зб., а в т. х2 – розбіж. Тоді ствердж., що коли |х-х0|<|х1-х0|, то в т. х ряд тим паче буде збіжним, при чому, навіть абсолютно. Якщо |х-х0|>|х2-х0|, то в т. х ряд тим паче буде розбіжним.
Т. Адамара (Коші-Адамара) про радіус збіжності степеневого ряду.
Нех. дано
степ. ряд Σ∞n=0an(x-x0)n
і
нех. λ=
-
верхня границя.
Верхнею границею посл-сті наз. найбільша із частинних границь цієї посл-сті. Число а наз. частинною границею даної посл-сті, якщо існує така підпосл-сть, яка прямує до а. Пр. (-1)n Посл-сть з непар. номер. прямує до -1, з парн. до 1. Це частинні границі.
Тоді рад. зб-сті нашого числ. ряду задається ф-лою R=1/λ, при чому, коли λ=0, то R=∞, а коли λ=+∞, то R=0.
Дов.:
Розгл. осн. випадок, коли λ
0,
∞.
Розгл. ряд, складений з модулів
Σ∞n=0|an|·|x-x0|n
.
Зафіксуємо х, тоді цей ряд буде числ.
додат. рядом. Застос. до цього ряду узаг.
ознаку зб-сті Коші. Якщо
,
якщо границя буде менша 1, то ряд буде
зб. абсолютно.
<1
|x-x0|·
<1
|x-x0|·λ<1
|x-x0|<1/λ=R.
Для таких х ряд буде збіж.
Якщо ж >1, то тоді заг. доданок не 0, ряд розбіж.
|x-x0|·λ>1 , |x-x0|>1/λ. Довед.
22. Ряд Тейлора для дійсної функції дійсної змінної. Розкладання у степеневий ряд основних елементарних функцій.
Рядом
Тейлора для ф-ї f
відносно т. х0
наз. степеневий ряд наступного виду:
.
Це
частковий вип. степеневого ряду.
Т. про розвинення ф-ї в ряд. Нех. в деякому околі т. х0 ф-ю f можна розвинути в деякий степеневий ряд по степеням різниці (х-х0). Тоді цей степ. ряд співпаде з рядом Тейлора даної ф-ї відносно даної т. х0 .
Дов.: f(x)=Σ∞n=0an(x-x0)n=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…
f '(x)=a1·1!+a2·2·(x-x0)1+3a3(x-x0)2+…
f ''(x)=a2·2·1+a3·3·2·(x-x0)+a4·4·3·(x-x0)2+……..
f(x0)=a0; f '(x0)=a1·1! => a1=f '(x0)/1!
f ''(x0)=a2·2! => a2=f ''(x0)/2! …=> ak=f (k)(x0)/k! Довед.
Основні розклади:
1. ех=1+
2. sinx=
3. соsx=
Приміт. Ці розклади для всіх х хЄ(-∞,
+∞).
4.
ln(1+x)=x-
Прим.
хЄ[-1, 1].
5. Нех. α – деякий показник степеня, тоді, якщо |x|<1
(1+х)α=1+