5.3. Задача Коші для лінійного однорідного рівняння в частинних похідних першого порядку.
Оскільки
рівняння з частинними похідними має
безліч розв’язків,
то для
виділення одного з них треба задати
додаткову умову. Такою умовою може бути
умова Коші. Зафіксуємо яку-небудь із
змінних
,
наприклад,
і будемо вимагати, щоби для розв’язку
рівняння (5.2.1) виконувалася умова
.
(5.3.1)
Ми
припускаємо, що функція
визначена у деякому околі точки
і
.
Підставимо значення в загальний інтеграл системи (5.2.2). Одержимо
(5.3.2)
Якобіан цієї системи відмінний від нуля в точці . Тому існує єдиний розв’язок системи (5.3.2)
Побудуємо функцію
.
(5.3.3)
Ця функція і буде розв’язком задачі Коші. Справді, оскільки функція (5.3.3) залежить від частинних розв’язків , то вона також буде розв’язком рівняння (5.2.1). Крім того,
.
Тобто функція (5.3.3) задовольняє початкову умову (5.3.1).
5.4. Квазілінійне рівняння з частинними похідними першого порядку.
Рівняння вигляду
(5.4.1)
називають квазілінійним рівнянням з частинними похідними першого порядку.
Будемо шукати розв’язок цього рівняння в неявному вигляді
,
(5.4.2)
де
функція
має неперервні частинні похідні за
всіма змінними, причому
у деякій області змінних
.
Враховуючи те, що
залежить від
,
про диференціюємо (5.4.2) за змінною
.
Звідси
.
Підставляючи ці похідні в рівняння (5.4.1), одержимо лінійне однорідне рівняння з частинними похідними стосовно невідомої функції .
(5.4.3)
Очевидно, кожний розв’язок рівняння (5.4.3) прирівняний до нуля, дасть співвідношення вигляду (5.4.2), яке визначатиме функцію від змінних і ця функція буде розв’язком рівняння (5.4.1). Запишемо відповідну до рівняння (5.4.3) симетричну систему
.
(5.4.4)
Припустимо, що ми знайшли незалежних перших інтегралів цієї системи
(5.4.5)
Тоді загальний розв’язок рівняння (5.4.3) дається формулою
.
Прирівнюючи цю функцію до нуля, одержимо загальний розв’язок рівняння (5.4.1) в неявному вигляді
.
(5.4.6)
Отже, для знаходження загального розв’язку рівняння (5.4.1) треба скласти відповідну симетричну систему (5.4.4), знайти незалежних перших інтегралів цієї системи і прирівняти до нуля довільну диференційовану функцію цих інтегралів. Одержана рівність (5.4.6) дає загальний розв’язок рівняння (5.4.1) в неявному вигляді. Розв’язуючи його стосовно , якщо це можливо, одержимо загальний розв’язок у явному вигляді.
5.5. Задача Коші для квазілінійного рівняння.
Ця задача формулюється так само, як і для лінійного однорідного рівняння. Треба знайти розв’язок рівняння (5.4.1), який задовольняє початкову умову
.
(5.5.1)
Підставимо в загальний інтеграл (5.4.5) системи (5.4.4) значення .
Розв’язуючи
цю систему стосовно
,
одержимо
Розв’язок задачі Коші дається формулою
.
Приклад 1.
Знайти загальний розв’язок рівняння
.
Складаємо відповідну симетричну систему
.
Інтегруючи цю систему, знаходимо перші інтеграли
.
Загальний розв’язок має вигляд
,
де – довільна диференційована функція своїх аргументів.
Приклад 2.
Знайти загальний розв’язок рівняння
.
Відповідна симетрична система складається з одного рівняння
або
.
Це
– однорідне рівняння, тому робимо заміну
.
Тоді
,
.
,
Отже, загальний розв’язок вихідного рівняння має вигляд
.
Приклад 3.
Знайти розв’язок рівняння
який задовольняє умову
.
Утворюємо відповідну симетричну систему
.
Знаходимо перші інтеграли
.
Підставимо
значення
у ці інтеграли
.
Звідси
.
Підставимо в початкову умову замість і їх значення з останніх двох рівностей
.
Замість
і
підставимо їх значення з перших
інтегралів. Тоді
.
Приклад 4.
.
.
Складаємо відповідну систему
.
З останнього рівняння маємо
.
З першого рівняння маємо
.
Підставляємо
значення
в перші інтеграли. Одержимо
.
Звідси
.
Підставляємо в початкову умову
.
Тоді
.
Приклад 5.
Знайти загальний розв’язок рівняння
.
Це – квазілінійне рівняння, тому відповідна симетрична система має вигляд
.
Знайдемо перші інтеграли цієї системи. З першого рівняння
Маємо
.
Складемо рівність, використовуючи властивість пропорцій,
,
звідки
.
Загальний розв’язок має вигляд
.
Його можна записати у такому вигляді
.
Приклад 6.
Знайти розв’язок рівняння
,
який задовольняє початкову умову
.
Складаємо відповідну симетричну систему
.
Друге рівняння дає один перший інтеграл
.
Використавши властивість пропорцій, отримуємо інтегровану комбінацію
.
Звідки
.
Підставимо
значення
в перші інтеграли
.
Звідки
.
Підставляємо ці значення в початкову умову
або
.
.
Приклад 7.
Знайти інтегральну поверхню рівняння
,
яка проходить через криву
Відповідна симетрична система має вигляд
.
З першого рівняння маємо
.
Утворимо інтегровану комбінацію
або
.
Звідки
.
Виключимо
тепер
з рівнянь
З
другого і четвертого рівнянь маємо
,
отже,
.
Тоді з першого рівняння
.
З третього отримаємо
.
Тепер можемо знайти залежність між і , використавши друге рівняння
.
Отже,
,
.
Замінюючи тепер та відповідними їм виразами з перших інтегралів, отримаємо рівняння шуканої поверхні
або
.