Розділ 5. Рівняння з частинними похідними першого порядку

5.1. Постановка задачі про інтегрування рівнянь з частинними похідними.

Рівняння з частинними похідними першого порядку має такий вигляд:

У цьому рівнянні невідома функція залежить від незалежних змінних , .

Розглянемо рівняння, розв’язане стосовно однієї з частинних похідних

. (5.1.1)

Сформулюємо для цього рівняння задачу Коші: знайти розв’язок рівняння (5.1.1), який при заданому початковому значенні співпадає із заданою функцією інших змінних

. (5.1.2)

У випадку двох незалежних змінних рівняння (5.1.1) має вигляд

. (5.1.3)

Знайти розв’язок цього рівняння – значить знайти функцію , яка у координатному просторі зображує деяку поверхню. Будемо називати таку поверхню інтегральною. Отож, задача знаходження розв’язків рівнянь з частинними похідними є задача знаходження інтегральних поверхонь. Поставимо задачу Коші для рівняння (5.1.3): знайти розв’язок, який задовольняє початкову умову

. (5.1.4)

Рівняння (5.1.4) визначає криву у просторі. Отже, задача Коші полягає у знаходженні інтегральної поверхні, яка проходить через задану криву.

Варто зауважити, що крива (5.1.4) має спеціальний вигляд: це плоска крива, яка лежить у площині , паралельній до координатної площини . Така нерівноправність змінних відбувається тому, що у рівнянні (5.1.3) змінна відігравала особливу роль. Якщо розглянемо рівняння у більш симетричній формі, а саме

, (5.1.5)

то і задачу Коші варто сформулювати так, щоби ні одна змінна не ставилася у виняткове положення. Таку задачу називають узагальненою задачею Коші і полягає вона у тому, щоби знайти інтегральну поверхню рівняння (5.1.5), яка проходить через просторову криву

. (5.1.6)

5.2. Лінійне однорідне рівняння з частинними похідними першого порядку.

Розглянемо рівняння вигляду

(5.2.1)

Таке рівняння називають лінійним однорідним рівнянням з частинними похідними першого порядку. Ми вже зустрічалися з цим рівнянням, коли вивчали симетричні системи. Це було рівняння (4.4.5). Тому запишемо симетричну систему, яку будемо називати відповідною до рівняння (5.2.1).

. (5.2.2)

Ми маємо таку теорему:

Ліва частина будь-якого першого інтеграла системи (5.2.2) є розв’язком рівняння (5.2.1), і навпаки, будь-який розв’язок рівняння (5.2.1), прирівнений до довільної сталої, дає перший інтеграл системи (5.2.2). Нехай маємо загальний інтеграл системи (5.2.2).

Покажемо, що загальний розв’язок рівняння (5.2.1) визначається формулою

, (5.2.3)

де – довільна диференційована функція своїх аргументів. Оскільки будь-яка функція, аргументами якої є перші інтеграли системи (5.2.2), є також першим інтегралом цієї системи, то згідно з сформульованою теоремою функція (5.2.3) є розв’язком рівняння (5.2.1). Покажемо, що це загальний розв’язок, тобто у цій формулі міститься будь-який частинний розв’язок. Візьмемо довільний частинний розв’язок

.

Тоді ця функція тотожньо задовольняє рівняння

. (5.2.4)

Оскільки перші інтеграли є також розв’язками рівняння (5.2.1), то виконуються тотожності

. (5.2.5)

Система (5.2.4) – (5.2.5) є стосовно функцій лінійною однорідною і має ненульові розв’язки. Тому визначник цієї системи тотожньо дорівнює нулю. Цей визначник є якобіан від функцій . Отже, ми маємо

. (5.2.6)

Згідно основної теореми про якобіани між функціями існує функціональна залежність, тобто справедлива рівність

. (5.2.7)

Оскільки перші інтеграли за умовою незалежні, то один з мінорів функціонального визначника (5.2.6) гарантовано відмінний від нуля. Тому співвідношення (5.2.7) можна розв’язати стосовно функції , і ми одержуємо

.

Це означає, що вибраний частинний розв’язок міститься у формулі (5.2.3).