Розділ 3. Лінійні системи диференціальних рівнянь

3.1. Загальна теорія лінійних однорідних систем. У цьому розділі ми розглянемо один клас нормальних систем диференціальних рівнянь – системи лінійних диференціальних рівнянь. Це системи вигляду

(3.1.1)

Стосовно коефіцієнтів і функцій припускаємо, що вони неперервні у проміжку . Тоді згідно з теоремою Коші для нормальних систем існує єдиний розв’язок системи (3.1.1) у проміжку , який задовольняє початкові умови

. (3.1.2)

Введемо позначення

Тоді систему (3.1.1) можна записати у вигляді

. (3.1.3)

Якщо , то систему називають лінійною однорідною, якщо хоча би одна з функцій відмінна від нуля, то систему називають неоднорідною.

Розглянемо спочатку лінійну однорідну систему

. (3.1.4)

Вектор-функцію називають розв’язком системи (3.1.4), якщо вона перетворює рівняння системи в тотожності, тобто

.

Теорема 3.1. Якщо і – частинні розв’язки лінійної однорідної системи, то їх сума також буде розв’язком цієї системи.

Згідно умови теореми . Використовуючи властивість лінійного оператора, одержуємо

.

Теорема доведена.

Теорема 3.2. Якщо частинний розв’язок лінійної однорідної системи, то також буде розв’язком цієї системи за будь-якої сталої .

Доводиться аналогічно.

Наслідок. Якщо частинні розв’язки лінійної однорідної системи, то розв’язком цієї системи буде функція

. (3.1.5)

Означення. Вектор-функції називають лінійно залежними на проміжку , якщо існують такі числа , не всі одночасно рівні нулю, що для усіх виконується тотожність

. (3.1.6)

Якщо ж ця тотожність можлива лише тоді, коли усі , то вектор-функції називають лінійно незалежними.

Розглянемо систему вектор-функцій

Утворимо визначник, який називають визначником Вронського

.

Теорема 3.3. Якщо система вектор-функцій лінійно залежна у проміжку , то у проміжку .

Згідно умови теореми виконується тотожність (3.1.6). Запишемо цю рівність як лінійну алгебричну систему

(3.1.7)

Розглядаючи систему (3.1.7) як лінійну однорідну алгебричну систему стосовно чисел , ми бачимо , що вона має ненульовий розв’язок. Це означає, що визначник системи тотожньо дорівнює нулю. Але цей визначник і є визначником Вронського. Теорема доведена.

Теорема 3.4. Якщо лінійно незалежні у проміжку частинні розв’язки лінійної однорідної системи, то їх визначник Веронського не обертається в нуль ні в одній точці проміжку .

Допустимо протилежне. Нехай . Введемо позначення

. Утворимо систему

(3.1.8)

Система (3.1.8) є лінійною однорідною системою стосовно . Оскільки визначник системи є визначником Веронського у точці , а він згідно припущення дорівнює нулю, то система (3.1.8) має ненульовий розв’язок. Позначимо його . Побудуємо функцію

.

Згідно з наслідком з теорем 3.1 і 3.2 ця функція буде розв’язком лінійної однорідної системи. Оскільки задовольняють систему (3.1.8), то . Це означає, що

.

Згідно теореми Коші розв’язок лінійної однорідної системи з нульовими початковими умовами , і цей розв’язок єдиний. Тому маємо тотожність

.

Виходить, що розв’язки лінійно залежні, що суперечить умові теореми.

З двох останніх теорем можемо зробити такий висновок:

Визначник Вронського розв’язків лінійної однорідної системи або тотожньо дорівнює нулю у проміжку неперервності коефіцієнтів, або не обертається в нуль ні в одній точці цього проміжку.

Означення. Систему лінійно незалежних частинних розв’язків лінійної однорідної системи називають фундаментальною системою.

Теорема 3.5. Якщо коефіцієнти лінійної однорідної системи неперервні у проміжку , то існує фундаментальна система розв’язків, визначених і неперервних у цьому проміжку.

Візьмемо довільний визначник, який відмінний від нуля.

.

Визначимо частинних розв’язків системи, які задовольняють початкові умови

.

Згідно теореми Коші ці розв’язки існують. Визначник Вронського цієї системи у точці співпадає з визначником , тому відмінний від нуля. Отже, ця система розв’язків є фундаментальною.

Теорема 3.6. Якщо фундаментальна система розв’язків лінійної однорідної системи у проміжку , то формула

(3.1.9)

дає загальний розв’язок цієї системи у проміжку .

Ми вже знаємо, що функція (3.1.9) є розв’язком лінійної однорідної системи. Треба довести, що з цієї формули можна одержати будь-який частинний розв’язок. Виберемо довільний частинний розв’язок, задавши довільні початкові умови.

, (3.1.10)

де довільно задані числа. Згідно з теоремою Коші задача (3.1.4) – (3.1.10) має єдиний розв’язок. Треба показати, що він міститься у формулі (3.1.9). Підставимо початкові умови (3.1.10) у формулу (3.1.9). Одержимо систему

(3.1.11)

Система (3.1.11) – лінійна неоднорідна система, визначник якої є визначником Вронського фундаментальної системи розв’язків. Тому цей визначник відмінний від нуля. Отже, система (3.1.11) має єдиний розв’язок. Позначимо його . Підставимо ці числа у формулу (3.1.9).

.

Це й буде шуканий розв’язок. Теорема доведена.

Теорема 3.7. Будь-які частинні розв’язки лінійної однорідної системи рівнянь будуть лінійно залежними.

Доведення аналогічне доведенню відповідної теореми для лінійного однорідного рівняння го порядку.

Формула Остроградського-Ліувілля.

Обчислимо похідну визначника Вронського фундаментальної системи

.

визначник, отриманий з шляхом диференціювання го рядка. Розглянемо і врахуємо той факт, що частинні розв’язки лінійної однорідної системи (3.1.4).

,

бо в останньому визначнику перший рядок є лінійною комбінацією решти го рядків, тому він дорівнює нулю. Аналогічно отримуємо, що . Тоді

.

Інтегруємо це диференціальне рівняння

.

Підставивши у цю формулу , одержуємо . Остаточно

.

Останню формулу і називають формулою Остроградського- Ліувілля для лінійних систем.