6.2. Согласованная фильтрация сигнала в шуме.

Т еперь рассмотрим более сложный случай, когда необходимо передать максимум мощности от источника к нагрузке не на одной частоте, а в диапазоне частот. Этот случай является типичной для радиотехники задачей выделения сигнала u_с(t), имеющего в некоторой полосе частот спектр , из его смеси с шумом u_ш(t). Упрощённая схема радиосистемы для этого случая приведена на рис. 6.5. Источником сигнала в данном случае является формирующий фильтр с частотной характеристикой S(ω). При возбуждении этого фильтра коротким импульсом на его выходе формируется сигнал со спектром U(ω), который усиливается в передатчике и излучается в пространство. На приёмной стороне этот сигнал вновь усиливается и попадает в согласованный фильтр, который является нагрузкой и имеет частотную характеристику H(ω). Наша задача – найти H(ω), позволяющую получить на выходе этого фильтра максимальную мощность сигнала, а, следовательно, и максимальное отношение сигнал/шум. При рассмотрении этой схемы предполагаем, что все остальные звенья (антенны, пространство, передатчик, приемник) достаточно широкополосны и не вносят изменений в спектр выходного сигнала формирующего фильтра.

Спектр сигнала на выходе согласованного фильтра определяется произведением U(ω)H(ω). Являясь сомножителем этого произведения, частотная характеристика фильтра может изменять этот спектр: некоторые участки подчёркивать, увеличивать, а некоторые, наоборот, сглаживать, уменьшать. Эта роль H(ω) имеет основное значение. Чтобы найти сигнал на выходе фильтра u_с(t)_вых, необходимо применить к спектру U(ω)H(ω). обратное преобразование Фурье:

.

Максимум энергии сигнала выделится в фильтре в момент t₀ в том случае, когда его частотная характеристика будет комплексно сопряжённой со спектром сигнала. Комплексная сопряженность частотной характеристики согласованного фильтра и спектра сигнала означает, что амплитудно-частотная характеристика согласованного фильтра должна совпадать со спектром входного сигнала и, следовательно, совпадать с амплитудно-частотной характеристикой формирующего фильтра. Фазо-частотная характеристика согласованного фильтра должна быть равна фазо-частотному спектру сигнала, взятому с обратным знаком и, следовательно, равна зеркальному отражению фазо-частотной характеристики формирующего фильтра.

Если частотная характеристика фильтра H(ω) и спектр сигнала U(ω) являются комплексно сопряженными функциями, то отношение сигнал/шум на выходе оптимального фильтра в момент t₀ будет равно отношению полной энергии сигнала к спектральной плотности мощности шума Е/N при любом виде частотной характеристики фильтра и спектра сигнала.

При выводе отношения сигнал/шум не учитывалось усиление или ослабление сигнала при передаче его от формирующего фильтра в согласованный фильтр, а также его задержка во времени и смещение по фазе при распространении в пространстве, поскольку эти параметры не влияют не получение максимального отношения сигнал/шум на выходе согласованного фильтра.

В схеме рис. 6.5 прослеживается полная аналогия со схемой рис. 6.4, описанной в предыдущем разделе. Здесь также с одной стороны расположен источник сигнала –формирующий фильтр. Внутреннее комплексное сопротивление этого фильтра имеет активную и реактивную части, изменяющиеся в полосе его рабочих частот. Это, соответственно, амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики фильтра. С другой стороны имеется нагрузка (согласованный фильтр), комплексное сопротивление которой также имеет активную и реактивную части (соответственно, амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики). Для получения в нагрузке максимума сигнала эти две части системы должны на всех частотах спектра удовлетворять условиям равенства амплитуд (определяемых амплитудно-частотными характеристиками) и противоположности фаз (определяемых фазо-частотными характеристиками). Если спектр рассматриваемого сигнала представить в дискретном виде, то есть в виде набора отдельных частот, расположенных в его рабочей полосе, то для согласования источника и нагрузки на каждой частоте потребуется выполнение условий, приведённых в разделе 6.1. для одночастотной схемы. При объединении результатов, полученных для всех частот, мы вновь получим равенство H(ω)=U^*(ω).

Таким образом, оптимальная фильтрация сложных сигналов фактически определяется согласованием активных и реактивных сопротивлений источника (формирующего фильтра) и нагрузки (согласованного фильтра).