2.Регулярні мови і регулярні вирази.
Нехай X – довiльний алфавiт. Визначимо регулярну мову (множину) в алфавiтi X рекурсивно наступним чином:
1) порожня множина ∅ є регулярною мовою;
2) для кожної букви a ∈ X множина {a} є регулярною мовою;
3) якщо A i B є регулярними мовами, то множини A ∪ B, AB і також є регулярними мовами;
4) iнших регулярних мов не iснує.
Пpиклад.
1)
множина {e} є регулярною мовою, бо {e} =
;
2) множина {001, 110} – регулярна мова над бiнарним алфавiтом, бо
{001, 110} = ({0}{0}{1}) ∪ ({1}{1}{0});
Щоб спростити зображення регулярних мов, визначимо поняттярегулярного виразу над алфавiтом X наступним чином:
1) порожня множина ∅ є регулярним виразом, який позначає порожню множину;
2) e є регулярним виразом, який позначає мову {e};
3) для кожної букви a ∈ X a – регулярний вираз, що позначає мову {a};
4)
якщо
i
є регулярними виразами, що позначають
мови A i B вiдповiдно, то (
)+(
),
(
)(
)
i
є регулярними виразами, що позначають
мови A ∪
B, AB i
вiдповiдно;
5) iнших регулярних виразiв над алфавiтом X не iснує.
Щоб
зменшити кiлькiсть дужок в регулярних
виразах, будемо вважати, що найвищий
прiоритет має операцiя iтерацiї ∗,
потiм – конкатенацiя i останньою
виконується операцiя +. Наприклад, 01
позначає {01},
–
,
–
,
а
001 позначає
множину всiх слiв, якi складаються з нулiв i одиниць i закiнчуються словом 001.
Для кожної регулярної мови iснує нескiнченно багато виразiв, що ї ї зображують. Наприклад, вирази 1+∅ i 1 зображують одну й ту ж мову {1}. Кажемо, що
два регулярних вирази рiвнi (=), якщо вони позначають одну i ту ж
множину.
3.2. Твеpдження. Нехай α, β i γ – регулярнi вирази. Тодi:
• α + β = β + α; • = e; • α + (β + γ) = (α + β) + γ; • α(βγ) = (αβ)γ; • α(β + γ) = αβ + αγ;
•
(α
+ β)γ = αγ + βγ; • αe = eα = α; • ∅α
= α∅
= ∅;
•
= α +
;
•
=
;
• α + α = α;
• α + ∅ = α.
Доведення. Нехай α i β позначають множини A i B вiдповiдно. Тодi α+β позначає A∪B, а β +α позначає B ∪A. Але A∪B = B ∪A за означенням об’єднання, тому α + β = β + α. Решту рiвностей доводяться аналогiчно. Дов.
Для
зручностi запису введемо таке позначення:
=
.
Регулярнi вирази часто зображують помiченими орiєнтованими графами, стрiлки яких позначають буквами з алфавiту X ∪ {e}. Для довiльного регулярного виразу r, граф, що його зображує, утворюється наступним чином:
С
початку
малюємо двi спецiальнi вершини, якi
називаються початковою i кiнцевою
вершинами, i сполучаємо їх стрiлкою,
позначеною r:
Далi,
повторюємо наступнi кроки, доки кожна
позначка довiльної стрiлки не мiститиме
символiв +, ·
:
1)замiнюємо кожну стрiлку з позначкою f +g на двi паралельнi стрiлки з позначками f i g:
2
)
замiнюємо кожну стрiлку з позначкою fg
на додаткову вершину i двi стрiлки з
позначками f i g:
3
)
замiнюємо кожну стрiлку з позначкою
на додаткову вершину i на три стрiлки з
позначками e, f i e:
Для регулярного виразу r позначимо через G(r) помiчений орiєнтований граф, що його зображує. Очевидно, що кожна стрiлка в G(r) має позначку з множини X ∪ {e}. Кожному шляху в G(r) вiдповiдає слово, яке одержується конкатенацiєю всiх букв, якi позначають стрiлки шляху. Слово x належить мовi L(r) тодi i тiльки тодi, коли iснує шлях в G(r) з початкової вершини в кiнцеву вершину, якому вiдповiдає слово x. Кожна
е - стрiлка в G(r), яка є єдиною вихiдною стрiлкою з некiнцевої вершини чи єдиною вхiдною стрiлкою в непочаткову вершину може бути стягнута в одну вершину.