Дополнение 2. Оценка точности прогноза по линейной регрессии
Оценка точности линейной регрессии с
одновременной оценкой доверительного
интервала для коэффициентов aиbпроводится по
алгоритму, предложенному Гауссом. Для
этого разницу между измеренными
значениями
и вычисленными из уравнения
нужно сделать минимальной, т.е.
воспользоваться методом наименьших
квадратов. Тогда наилучший коэффициент
регрессии будет вычисляться по формуле
.
Второй коэффициент в этом случае может быть найден по формуле
.
Константы aиb- выборочные оценки теоретических параметров. Вследствие этого адекватность модели определяется доверительными интервалами для них.
Сначала вычисляют дисперсию разности
между опытными (
)
и рассчитанными
значениями:
.
Дисперсии для констант aиbищут с помощью
закона сложения ошибок с
степенями свободы, гдеm
– число наблюдений. Имеем:
,
.
Доверительные интервалы для aиbполучают из соотношений
,
по процентным точкам распределения Стьюдента (Приложение 2).
Если полученные коэффициенты дают для
наблюдавшихся данных среднюю ошибку
аппроксимации не более 10%, то сглаженную
функцию
можно использовать для вычисления
прогнозных значений зависимой переменной.
При этом необходимо учитывать, что
одному значению
мы ставим в соответствие единственное
,
являющееся случайной величиной в силу
стохастичностиaиb.
Зная ошибки
и
,
можно найти доверительный интервал для
вычисляемого значения
:
.
Отметим,
что доверительный интервал зависит от
разности
и становится тем больше, чем дальше
от среднего
.
Приложение 1
Функция нормального распределения
|
U |
Ф(U) |
U |
Ф(U) |
U |
Ф(U) |
U |
Ф(U) |
|
-3,0 |
0 |
-1,0 |
0,159 |
0,0 |
0,500 |
1,1 |
0,864 |
|
-2,5 |
0,006 |
-0,9 |
0,184 |
0,05 |
0,520 |
1,2 |
0,884 |
|
-2,0 |
0,023 |
-0,8 |
0,212 |
0,1 |
0,540 |
1,3 |
0,903 |
|
-1,9 |
0,029 |
-0,7 |
0,242 |
0,2 |
0,579 |
1,4 |
0,919 |
|
-1,8 |
0,035 |
-0,6 |
0,274 |
0,3 |
0,618 |
1,5 |
0,933 |
|
-1,7 |
0,045 |
-0,5 |
0,309 |
0,4 |
0,655 |
1,6 |
0,945 |
|
-1,6 |
0,055 |
-0,4 |
0,345 |
0,5 |
0,691 |
1,7 |
0,955 |
|
-1,5 |
0,067 |
-0,3 |
0,382 |
0,6 |
0,726 |
1,8 |
0,966 |
|
-1,4 |
0,081 |
-0,2 |
0,421 |
0,7 |
0,758 |
1,9 |
0,971 |
|
-1,3 |
0,097 |
-0,1 |
0,460 |
0,8 |
0,788 |
2,0 |
0,977 |
|
-1,2 |
0,115 |
-0,05 |
0,480 |
0,9 |
0,816 |
2,5 |
0,993 |
|
-1,1 |
0,136 |
-0,0 |
0,500 |
1,0 |
0,841 |
3,0 |
0,998 |
Приложение 2
Критические значения функции распределения Стьюдента
tp(f)
-
f
Р
0,05
0,025
0,01
1
12,705
25,452
63,657
2
4,303
6,205
9,925
4
2,776
3,495
4,604
6
2,446
2,969
3,707
8
2,306
2,751
3,355
10
2,228
2,633
3,169
15
2,131
2,490
2,947
20
2,086
2,423
2,845
30
2,042
2,356
2,750
60
2,000
2,299
2,660
120
1,978
2,270
2,617
1,960
2,241
2,576