3. Метод уступок

Ищется максимальное значение первого критерия на всем множестве допустимых решений. Затем назначаем величину «допус­ти­мого» снижения (уступки) ₁ критерия и оп­ре­деляем наибольшее значение второго критерия при ус­ло­вии, что значение первого критерия должно быть не меньше, чем - ₁. Затем назначаем величину «допус­ти­мого» снижения (уступки) ₂ критерия и оп­ре­деляем наибольшее значение третьего критерия при ус­ло­вии, что значение второго критерия должно быть не меньше, чем - ₂ и т. д. Таким образом, оптимальным решением многокритериальной задачи считается вся­кое решение последней из задач последовательности:

1) найти в области

2) найти в области, задаваемой условиями

……………………………………………………………….

m) найти в области, задаваемой условиями

Очевидно, что если все _i =0, то метод уступок находит только лексикографически оптимальные решения, которые доставляют первому по важности критерию наибольшее на Х значение. В другом крайнем случае, когда величины уступок очень велики, решения , получаемые по этому ме­то­ду, доставляют последнему по важности критерию наибольшее на Х значе­ние. Поэтому величины уступок можно рассматривать как своеобразную ме­ру отклонения приоритета частных критериев от жесткого лексико­гра­фи­чес­ко­го.

Метод последовательных уступок не всегда приводит к получению только эффективных точек, но среди этих точек всегда существует хотя бы одна эффективная. Это следует из следующих утверждений.

Если XRⁿ - множество замкнутое и ограни­чен­ное, а функции f_i(x) непрерывны, то решением m-й задачи из является, по крайней мере, одна эффективная точка.

Если x^ - единственная (с точностью до эквива­лент­ности) точка, являющаяся решением m-й задачи из, то она эффективна.

4. Метод свертки

Метод свертки, идея которого состоит в построении на основе заданных  k целевых функций единой целевой функции, является одним из первых  в хронологии появления методов решения многокритериальных задач, пожалуй, самым простым и, видимо, поэтому самым распространенным.  При внимательном изучении задачи 1.20 «О  туризме», приведенной в первой главе этого пособия, легко заметить, что эта, по сути, многокритериальная задача, сведена к обычной задаче ЛП именно с помощью метода свертки.

Тем не менее, этому методу присущи определенные  свойства, в силу которых метод не всегда позволяет получить адекватное представление об эффективных решениях задачи.

Рассмотрим метод более подробно. В  качестве свертки для получения единой целевой функции, как правило,  используется преобразование вида:

,                                              (5.7)

где  = 1,2., а     - коэффициенты предпочтения. (Вместо функций f_i(x) в преобразовании (5.6) можно  использовать нормализованные критерии  ).

Вспомогательная задача в этом случае  выглядит как:

 

,

Если в преобразовании (5.7) принято, что   =1, то получается вспомогательная задача с линейной сверткой:

.

Если исходная задача является задачей ЛП, то вспомогательная задача с линейной сверткой также является задачей ЛП и решается методами ЛП:

.

При решении многокритериальных задач с линейными целевыми функциями и функциями ограничений методом линейной свертки можно заметить, что получаемые решения всегда лежат в крайних точках выпуклого многогранника D – множества допустимых решений  исходной задачи. Это соответствует теории линейного программирования, из которой известно, что оптимальное решение задачи ЛП всегда лежит в крайней точке множества D. Таким образом, применение метода свертки с использованием линейной функцией свертки существенно сужает множество получаемых эффективных решений по сравнению со всем  множеством Парето. Изменения коэффициентов предпочтения   принципиально ситуацию не изменяют.

Так же,  как и метод ограничений, метод свертки предполагает использование субъективной информации ЛПР в виде коэффициентов предпочтения. Надо отметить, что при решении реальных задач определение этих коэффициентов представляет собой не простую задачу.