Достижимое множество

Рисунок ниже представляет иллюстрацию местоположения достижимого множества, также известного как множество возможностей, из которого может быть выделено эффективное множество. Достижимое множество представляет собой все портфели, кото­рые могут быть сформированы из группы в N ценных бумаг. Это означает, что все возмож­ные портфели, которые могут быть сформированы из N ценных бумаг, лежат либо на гра­нице, либо внутри достижимого множества.

Теорема об эффективном множестве в применении к достижимому множеству

Теперь можно определить местоположение эффективного множества, применив теорему об эффективном множестве к достижимому множеству. Сначала выделим множество портфелей, удовлетворяющих первому условию теоремы об эффективном мно­жестве. Если посмотреть на рисунок, то можно заметить, что не существует менее ри­скового портфеля, чем портфель Е. Это объясняется тем, что если провести через Е вертикальную прямую, то ни одна точка достижимого множества не будет лежать левее данной прямой.

Рассматривая далее второе условие, можно заметить, что не существует портфеля, обеспечивающего большую ожидаемую доходность, чем портфель S, потому что ни одна из точек достижимого множества не лежит выше горизонтальной прямой, прохо­дящей через S.

Учитывая то, что оба условия должны приниматься во внимание при определении эффективного множества, отметим, что нас удовлетворяют только портфели, лежащие на верхней и левой границе достижимого множества между точками Е и S. Соответст­венно эти портфели составляют эффективное множество, и из этого множества эффек­тивных портфелей инвестор будет выбирать оптимальный для себя. Все остальные достижимые портфели являются неэффективными портфелями, поэтому мы их можем игнорировать.

Выбор оптимального портфеля

Для выбора оптимального портфеля инвестор должен нарисовать свои кривые безразличия на одном рисунке с эффективным множеством, а затем приступить к выбору портфеля, располо­женного на кривой безразличия, находящейся выше и левее остальных. Этот портфель будет соответствовать точке, в которой кривая безразличия касается эффективного множества. Как это видно из рисунке ниже, таким портфелем является портфель О. Несомненно, что инвестор предпочел бы портфель, находя­щийся на более высокой кривой безразличия, но такого достижимого портфеля просто не существует. Желание находиться на какой-то конкретной кривой не может быть реализовано, если данная кривая нигде не пересекает множество достижимости.

Выпуклость эффективного множества

Для того чтобы понять, почему эффективное множество является выпуклым, рассмотрим следующий пример портфеля из двух ценных бумаг. Ценная бумага А имеет ожидаемую доходность в 5 % и стандартное отклонение в 20 %.Вторая ценная бумага G имеет ожидаемую доходность 15 % и стандартное отклонение 40 %. Теперь рассмотрим все возможные портфели, состоящие из этих ценных бумаг. Пусть Х1 – доля бумаг А, Х2 = 1- Х1 – доля бумаг G.

Доля / портфель	A	B	C	D	E	F	G
Х1	1,00	0,83	0,67	0,50	0,33	0,17	0,00
Х2	0,00	0,17	0,33	0,50	0,67	0,83	1,00

Д ля того чтобы рассмотреть возможные инвестиции в эти семь портфелей, необходимо вычислить их ожидаемые доходности и стандартные отклонения.

Доходность составит:

Портфель	rA=	rB=	rC=	rD=	rE=	rF=	rG=
Доходность	5,00%	6,70%	8,30%	10,00%	11,70%	13,30%	15,00%

Д ля вычисления стандартных отклонений данных портфелей необходимо применить уравнение:

Э то составит:

Н о так как:

где ρij – коэффициент корреляции (он всегда находится в пределе [-1:1]), то скажем для портфеля D границы отклонения составят 10% и 30%.

Портфель	A	B	C	D	E	F	G
Нижняя граница σр	20,00%	9,80%	0,20%	10,00%	20,20%	29,80%	40,00%
Верхняя граница σр	20,00%	23,40%	26,60%	30,00%	33,40%	36,60%	40,00%

Интересен тот факт, что все верхние пограничные значения лежат на прямой ли­нии, соединяющей точки А и G (коэффициент корреляции равен 1). Это означает, что любой портфель, составленный из этих двух бумаг, не может иметь стандартное отклонение, соответствующее точке, лежащей правее прямой линии, соединяющей эти две ценные бумаги. Вместо этого значение стандартного отклонения должно лежать на этой прямой линии или левее нее. Это означает желательность диверсификации портфеля. А именно, диверсификации ведет к уменьшению риска, так как стандартное отклонение портфеля будет в общем случае меньше, чем средневзвешенное стандартное отклонение бумаг, входящих в портфель.

Следует сказать, что любой портфель, состоящий из этих двух цен­ных бумаг, лежит в пределах границ треугольника, изображенного на рисунке. Его фактическое местоположение зависит от значения коэффициента корреляции между этими двумя ценными бумагами.

В реальности коэффициенты корреляции между двумя ценными бумагами отличаются от крайних значений. Вот, например, что получится если представить, что коэффициент корреляции равен «-0,5» и «0,5» (множество точек более приближенных к оси ординат соответствуют коэффициенту корреляции «-0,5»):