1. Составим математическую модель задачи. Введем следующие обозначения:

Стоимость перевозки одного автомобиля (доллар)		Пункты назначения
		N (1)	M (2)
Пункты отправления	A (1)	х11	х12
	B (2)	х21	х22
	C (3)	х31	х32

Где x_ij – количество автомобилей, которые необходимо перевезти из пункта назначения i в пункт распределения j. (i{1,2}, j{1,2,3}).

Найдем стоимость перевозки одного автомобиля, если известно, что стоимость перевозки 1 автомобиля на 1 милю равна 8 центам.

		Пункты назначения
		N (1)	M (2)
Пункты отправления	A (1)	80	215,2
	B (2)	100	108
	C (3)	102	68

Построим систему ограничений, которая будет определяться условием: объемы производства заводов A, B, C равняются 1000, 1500 и 1200 автомобилей ежеквартально, величины квартального спроса в центрах распределения M, N составляют 2300 и 1400 автомобилей соответственно.

Система ограничений (1).

Целевая функция будет иметь вид:

.

Данную функцию необходимо минимизировать.

2. Реализация полученной математической модели средствами ms Excel

Исходные данные задачи оформим в виде таблиц как показано выше. Подготовим таблицу, где будем находить оптимальный план перевозок, т.к. он нам еще не известен, то первоначальные значения можно положить равные 0.

В диапазоне B13:C15 введены начальные значения переменных x_ij. Построим левые части ограничений из системы (1) следующим образом: в ячейках E13:E15 найдем суммы x₁₁+x₁₂, x₂₁+x₂₂, x₃₁+x₃₂, а в ячейках C16:D16 найдем суммы x₁₁+x₂₁+x₃₁, x₁₂+x₂₂+x₃₂ соответственно. В данный момент все эти суммы равны 0.

Введем в ячейки F13:F15 значения объемов производства в центрах A,B,C, в ячейках C17:D17 значения спроса в центрах распределения N, M.

Найдем общую стоимость перевозок в ячейке D19, для этого воспользуемся функцией «сумма произведений», которая перемножит каждое значение из диапазона H6:I8 соответственно на каждое значение из диапазона C13:D15 и сложит полученные значения. Текущее значение общей стоимости перевозок равно 0.

Получим следующие:

Теперь все готово для нахождения решения.

Выделим ячейку D19, откроем пункт меню «Сервис» и запустим «Поиск решений». Появляется диалоговое окно, которое после заполнения принимает вид:

После выполнения алгоритма значение стоимости перевозок при оптимальном плане будет равно 313200.

Задача 3 Студенту нужно выбрать 10 учебных курсов по четырем различным научным дисциплинам, причем он должен выбрать не менее одного курса по каждой дисциплине. Цель студента – распределить 10 курсов по четырем дисциплинам так, чтобы получить максимум знаний в четырех областях науки. Студент понимает, что, отдав предпочтение какой-то одной из дисциплин, он не добьется существенного увеличения знаний, поскольку материал либо окажется слишком сложным для него, либо будет повторяться в различных курсах. Оценка курсов в баллах по 100-интервальной шкале приведена в таблице.

Дисциплины	Учебные курсы
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
I	25	50	60	80	100	100	100	100	100	100
II	20	70	90	100	100	100	100	100	100	100
III	40	60	80	100	100	100	100	100	100	100
IV	10	20	30	40	60	70	80	90	90	100

Предполагается, что группировка курсов по каждой дисциплине осуществлена в соответствии с требованиями учебного процесса. Построить математическую модель и получить решение задачи.

Решение. Обозначим через х_ij (i=1,2,3,4; j=1,2,…,10) наличие курса j дисциплины i в отборе курсов. Так как по каждой дисциплине должен быть прослушан хотя бы один курс, то должны выполняться следующие соотношения:

.

По условию количество выбранных курсов должно быть не менее 10:

Суммарный балл при таком выборе составит

,

где через с_ij обозначен балл по j-му курсу i-ой дисциплины.

Отсюда получаем модель:

Воспользуемся для решения задачи надстройкой «Поиск решения». Для этого разместим в ячейках А6:J9 изменяемые переменные х_jj . В ячейку А10 поместим формулу

=СУММ(A6:A9),

которую скопируем затем на диапазон B10:J10. В ячейку А13 поместим формулу

=СУММ(A6:J9),

а в ячейку С13 - критерий оптимизации:

=СУММПРОИЗВ(A1:J4;A6:J9).

Выполняем команду Сервис/Поиск решения. В окне диалога установим ячейку С13 в качестве целевой. Выберем критерием оптимизации максимизацию целевой функции. Изменяемые ячейки – А1:J9. В поле «Ограничения» введем последовательно:

A10:J101, A1310, A6:J90, А1:А40, A6:J9 – цел.

На рисунке показано окно диалога «Поиск решения».

Нажимаем кнопку «Выполнить» и получаем решение с соответствующим сообщением:

Следовательно, максимум целевой функции в 900 единиц достигается при наборе курсов, приведенных на рисунке.

Задача 4 Полицейская служба имеет следующие мини­маль­ные потребности в количестве полицейских в различ­ное время суток:

Время суток	Количество полицейских
2-6	20
6-10	50
10-14	80
14-18	100
18-22	40
22-2	30

Каждый полицейский ежедневно приступает к работе в начале определенного периода и работает 8 часов без перерыва. Составить служебное расписание на каждые сутки таким образом, чтобы обойтись минимальным количеством полицейских.

Решение. Обозначим через х_i (i=1,2,3,4,5,6) число поли­цей­ских, приступающих к работе ежедневно в период i. Учитывая, что смена длится 8 часов, а за шестым периодом наступает первый, получаем систему:

Размещая целевую функцию в ячейке С1, изменяемые ячейки – в диапазоне А1:А6, ограничения – в диапазоне В1:В6, а исходные ограничения по количеству полицейских – в диапазоне Е1:Е6, получаем, что полицейской службе достаточно 180 полицейских.

Задача 5 Имеется 4 пункта производства А1, А2, А3 и А4, в которых сосредоточены запасы какого-то однородного товара в количествах 48, 30, 27 и 20 единиц соответственно. Кроме того, имеется 5 пунктов потребления В1, В2, В3, В4 и В5, подавших заявки на 18, 27, 42, 12 и 26 единиц товара соответственно. Известна стоимость перевозки единицы товара от каждого пункта производства до каждого пункта потребления.

	B1	B2	B3	B4	B5	Запасы
A1	10	8	5	6	9	48
A2	6	7	8	6	5	30
A3	8	7	10	8	7	27
A4	7	5	4	6	8	20
Заявки	18	27	42	12	26	125

Требуется составить план перевозок, при котором все за­явки были бы выполнены, и при этом общая стоимость всех перевозок была минимальной.

Решение. Нетрудно заметить, что сумма всех запасов равна сумме всех заявок (125). Обозначим через х_ij количество единиц товара, отправленного из пункта производства i (1<=i<=4) в пункт потребления j (1<=j<=5), а через с_ij – стоимость перевозки из пункта i в пункт j. Тогда должны иметь место следующие соотношения:

Необходимо минимизировать целевую функцию вида

.

Разместим исходные данные для решения на листе MS Excel, например, таким образом, как на рисунке.

На этом листе формулы для целевой функции, ограни­чений по запасам и заявкам имеют соответственно вид:

=СУММПРОИЗВ(C5:G8;C12:G15),

=СУММ(C12:G12),

=СУММ(C13:G13),

=СУММ(C14:G14),

=СУММ(C15:G15),

=СУММ(C12:C15),

=СУММ(D12:D15),

=СУММ(E12:E15),

=СУММ(F12:F15),

=СУММ(G12:G15).

Полученное в результате решение приведено на рисунке .

1. В суточный рацион включают два продукта питания П1 и П2, причём продукта П1 должно войти в дневной рацион не более 200 ед. Стоимость питательных веществ в 1 ед. продукта, минимальные нормы потребления указаны в таблице. Определить оптимальный рацион питания, стоимость которого будет наименьшей.

   Питательные вещества	Минимальная норма потребления	Содержание питательных веществ в 1 ед. продукта.
   		П1	П1
   А В	120 160	0,2 0,4	0,2 0,2

2. Для производства трёх изделий А,В и С используются три вида ресурсов. Каждый из них используется в объёме, не превышающем 180, 210 и 236 кг. Нормы затрат каждого из видов ресурсов на одно изделие и цена единицы изделий приведены в таблице.

Вид ресурса	Нормы затрат ресурсов на 1 изделие, кг
	А	В	С
1 2 3	4 3 1	2 1 2	1 3 5
Цена изделия, у.е.	10	14	12

Определить план выпуска изделий, обеспечивающий получение оптимального дохода

3. Прибыль от изделий А,В,С составляет соответственно 13, 14, 15 единиц. Для их изготовления расходуется время работы двух станков, которые можно эксплуатировать 24 и 30 часов соответственно. В таблице – нормы времени на изделие.

Станки	Изделия
	А	В	С
1	5	4	5
2	6	3	3

Найти оптимальный план по критерию максимума прибыли.

4. Для изготовления изделий двух видов имеется 100 кг металла. На изготовление одного изделия I вида расходуется 2 кг металла, а изделия II вида —4 кг. Составить план производства, обеспечивающий получение наибольшей прибыли от продажи изде­лий, если отпускная стоимость одного изделия I вида составляет 3 ден. ед., а изделия II вида — 2 ден. ед., причем изделий I вида требуется изготовить не более 40, а изделий II вида — не более 20.

5. Производственная мощность цеха сборки составляет 120 изделий типа А и 360 изделий типа В в сутки. Технический конт­роль пропускает в сутки 200 изделий того или другого типа (без­различно). Изделия типа А вчетверо дороже изделий типа В. Тре­буется спланировать выпуск готовой продукции так, чтобы пред­приятию была обеспечена наибольшая прибыль.

6. Для изготовления изделий двух видов склад может отпус­тить металла не более 80 кг, причем на изделие I вида расходу­ется 2 кг, а на изделие II вида—1 кг металла. Требуется сплани­ровать производство так, чтобы была обеспечена наибольшая при­быль, если изделий I вида требуется изготовить не более 30 шт., а изделий II вида не более 40 шт., причем одно изделие I вида стоит 5 ден. ед., а II вида — 3 ден. ед.

7. Для откорма животных употребляют два вида кормов; сто­имость 1 кг корма I вида — 5,ден. ед., а корма II вида — 2 ден. ед. В каждом килограмме корма I вида содержится 5 ед. питательного вещества А, 2,5 ед. питательного вещества Б и 1 ед. питательного вещества В, а в каждом килограмме корма II вида соответственно 3, 3 и 1,3 ед. Какое количество корма каждого вида необходимо расходовать ежедневно, чтобы затраты на откорм были минималь­ными, если суточный рацион предусматривает питательных единиц типа А не менее 225 ед., типа Б — не менее 150 ед. и типа В — не менее 80 ед.?

8. Лесхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться не менее 6 единиц вещества A и 12 единиц B. Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одного животного, чтобы затраты были минимальны (по данным таблицы).

   Питательные вещества	Количество питательных веществ в 1 кг корма вида:
   	1	2
   A B	2 2	1 4
   Цена 1 кг корма, руб	2	3

9. В деревообрабатывающий цех завода поступил заказ вырезать из фанеры заготовки двух видов для 1000 изделий. Известно, что на одно изделие идет две заготовки первого вида и 3 - второго. На складе имеется 800 листов. Существуют три способа раскроя: при первом способе из листа фанеры получается 3 заготовок 1 вида и 2 заготовки 2 вида, при втором: 1 заготовка первого вида и 2 заготовки второго и при третьем - соответственно 2 и 2. Сколько листов фанеры надо выкроить по каждому способу, чтобы выполнить заказ и расход фанеры был минимальным?

10. П ри откорме животных каждое животное ежедневно должно получить не менее 60 ед. питательного вещества A, не менее 50 ед. вещества B и не менее 12 ед. вещества C. Указанные питательные вещества содержат три вида корма. Содержание единиц питательных веществ в 1 кг. каждого из видов корма приведено в следующей таблице.

Питательные вещества	Время обработки (ч.)
	I	II	III
А	1	3	4
В	2	4	2
С	1	4	3

Цена 1 кг. корма I вида составляет 9 р., корма II вида - 12 р. и корма III вида - 10 р. Составить дневной рацион, обеспечивающий получение необходимого количества питательных веществ при минимальных денежных затратах. Какая из математических моделей соответствует данной задаче, указать смысл входящих переменных, единицы измерения.

11. Фабрика выпускает три вида каш для завтрака «Манго», «Сливки», «Персик». Используемые для производства данных продуктов ингредиенты в основном одинаковы и, как правило, не являются дефицитными. Основным ограничением, накладываемым на объем выпуска, является наличие фонда рабочего времени в каждом из трех цехов фабрики.

Управляющему производством необходимо разработать план производства на месяц. В приведенной ниже таблице указаны общий фонд рабочего времени и число человеко-часов, требуемое для производства 1 т продукта.

Цех	Необходимый фонд рабочего времени, чел.-ч./т			Общий фонд рабочего времени чел.-ч. в месяц
	«Манго»	«Сливки»	«Персик»
А. Производство	10	4	7	1000
В. Добавление приправ	3	2	4	360
С. Упаковка	2	5	3	600

Доход от производства 1 т. "Манго" составляет 150 дол., от производства каши "Сливки" - 90 дол., и от производства каши "Персик" - 130 дол. На настоящий момент нет никаких ограничений на возможные объемы продаж.

12. Фирма производит два продукта A и B, рынок сбыта которых неограничен. Каждый продукт должен быть обработан каждой из машин I, II, III. Время обработки в часах для каждого из изделий A и B приведено в таблице.

Вид продукта	Время обработки (ч.)
	I	II	III
А	0,5	0,4	0,2
В	0,25	0,3	0,4

Время работы машины I, II, III соответственно 40, 36 и 36 ч. в неделю. Прибыль от изделий составляет соответственно 5 и 3 доллара. Фирме надо определить недельные нормы выпуска изделий A и B, максимизирующие прибыль. Какая из математических моделей соответствует данной задаче и указать смысл входящих переменных, единиц измерения.

13. Небольшая семейная фирма производит два широко популярных безалкогольных напитка — "Pink Fizz" и "Mint Pop". Фирма может продать всю продукцию, которая будет произведена, однако объем производства ограничен количеством основного ингредиента и производственной мощностью имеющегося оборудования. Для производства 1 л "Pink Fizz" требуется 0,02 ч работы оборудования, а для производства 1 л "Mint Pop" — 0,04 ч. Расход специального ингредиента составляет 0,01 кг и 0,04 кг на 1 л "Pink Fizz" и "Mint Pop" соответственно. Ежедневно в распоряжении фирмы имеется 24 ч времени работы оборудования и 16 кг специального ингредиента. Доход фирмы составляет 0,10 ф. ст. за 1 л "Pink Fizz" и 0,30 ф. ст. за 1 л "Mint Pop". Сколько продукции каждого вида следует производить ежедневно, если цель фирмы состоит в максимизации ежедневного дохода?

14. Завод-производитель высокоточных элементов для автомобилей выпускает два различных типа деталей: Х и Y. Завод располагает фондом рабочего времени в 4000 чел.-ч. в неделю. Для производства одной детали типа X требуется 1 чел.-ч, а для производства одной детали типа Y — 2 чел.-ч. Производственные мощности завода позволяют выпускать максимум 2250 деталей типа Х и 1750 деталей типа Y в неделю. Каждая деталь типа Х требует 2 кг металлических стержней и 5 кг листового металла, а для производства одной детали типа Y необходимо 5 кг металлических стержней и 2 кг листового металла. Уровень запасов каждого вида металла составляет 10000 кг в неделю. Кроме того, еженедельно завод поставляет 600 деталей типа Х своему постоянному заказчику. Существует также профсоюзное соглашение, в соответствии с которым общее число производимых в течение одной недели деталей должно составлять не менее 1500 штук.

Сколько деталей каждого типа следует производить, чтобы максимизировать общий доход за неделю, если доход от производства одной детали типа Х составляет 30 ф. ст., а от производства одной детали типа Y — 40 ф. ст.?

15. Намечается выпуск двух видов костюмов – мужских и женских. На женский костюм требуется 1 м шерсти, 2 м лавсана и 1 человеко-день трудозатрат, на мужской костюм – 3,5 м шерсти, 0,5 м лавсана и 1 человеко-день трудозатрат. Всего имеется 350 м шерсти, 240 метров лавсана и 150 человеко-дней трудозатрат. По плану предусматривается выпуск не менее 110 костюмов, причем необходимо обеспечить прибыль не менее 1400 рублей. Требуется определить оптимальное число костюмов каждого вида, обеспечивающее максимальную прибыль, если прибыль от реализации женского костюма составляет 10 рублей, а от мужского 20 рублей.

16. Предприятие электронной промышленности выпускает две модели радио­приемников, причем каждая модель производится на отдельной технологи­ческой линии. Суточный объем производства первой линии – 60 изделий, второй линии – 75 изделий. На радиоприемник первой модели расходуется 10 однотипных элементов электронных схем, на радиоприемник второй мо­дели – 8 таких же элементов. Максимальный суточный запас используемых элементов равен 800 единицам. Прибыль от реализации одного радиопри­емника первой и второй моделей равна 30 и 20 долларов, соответственно. Определить оптимальный суточный объем производства первой и второй моделей.

17. Процесс изготовления двух видов промышленных изделий состоит в после­довательной обработке каждого из них на трех станках. Время использова­ния этих станков для производства данных изделий ограничено 10-ю часами в сутки. Время обработки и прибыль от продажи одного изделия каждого вида приведены в табл.

Вид изделия	1 станок	2 станок	3 станок	Прибыль
А	15 мин	10 мин	5 мин	8
В	20 мин		12 мин	11

Найти оптимальный объем производства изде­лий каждого вида.

18. Компания производит полки для ванных комнат двух размеров – А и В. Агенты по продаже считают, что неделю на рынке может быть реализовано до 550 полок. Для каждой полки типа А требуется 2 м2 материала, а для полки типа В – 3 м2 материала. Компания может получить до 1200 м2 материала в неделю. Для изготовле­ния одной полки типа А требуется 12 мин. работы обору­дования, а для изготовления одной полки типа В – 30 мин. Оборудование можно использовать 160 час. в не­делю. Если прибыль от продажи полок типа А составляет 3 долл., а от полок типа В – 4 долл., то сколько полок надо выпускать в неделю, чтобы получить максималь­ную прибыль?

19. Фирма производит два вида продукции – А и В. Объем сбыта продукции А составляет не менее 60% общего объема реализации продукции обоих видов. Для изготовления продукции А и В используется одно и то же сырье, суточ­ный запас которого ограничен величиной 100 кг. Расход сырья на единицу продукции А составляет 2 кг, а на единицу продукции В – 4 кг. Цены продукции А и В равны 20 и 40 долларов, соответственно. Определить опти­мальное распределение сырья для изготовления продукции А и В.

20. Фирма выпускает ковбойские шляпы двух фасонов (А и В). Трудоемкость изготовления шляпы фасона А вдвое выше трудоемкости изготовления шля­пы фасона В. Если бы фирма выпускала только шляпы фасона А, суточный объем производства мог бы составить 500 шляп. Суточный объем сбыта шляп обоих фасонов ограничен диапазоном от 600 до 800 штук. Прибыль от продажи шляпы фасона А равна $8, а фасона В – $5. Определить, какое количество шляп каждого фасона следует изготовить, чтобы максимизиро­вать прибыль.

21. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие				Запасы сырья
	А	Б	В	Г
I	1	2	1	0	18
II	1	1	2	1	30
III	1	3	3	2	40
Цена изделия	12	7	18	10

Найти оптимальный план производства в смысле наибольшей выручки.