3. Однородное уравнение.

Определение. Функция называется однородной нулевой

степени, если для любого числа выполняется равенство = . Дифференциальное уравнение вида называется однородным, если функция однородна нулевой степени.

Так как в однородном уравнении функция является однородной нулевой степени, то = = = и однородное уравнение всегда можно привести к виду

. (10)

Уравнение (10) заменой или приводится к уравнению с разделяющимися переменными. Действительно, из формулы замены

получаем , а уравнение (10) примет вид или – уравнение с разделяющимися переменными. Найдя общее решение полученного уравнения с разделяющимися переменными, из формулы замены найдём общее решение однородного уравнения (10) .

Пример. Найдём общее решение уравнения .

После преобразования правой части данного уравнения = = видно, что данное уравнение является однородным. После замены , получим уравнение с разделяющимися переменными или . Разделим переменные: , , . Интегрируя последнее равенство, получим или . Разрешим последнее равенство относительно : , = , . Из формулы замены получаем теперь общее решение исходного уравнения .

4. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение вида , (11)

где – заданные функции.

Линейное уравнение (11) приводится к уравнению вида следующей заменой , где является новой искомой функцией.

Пример. Решить задачу Коши для уравнения с начальным условием .

Произведём в данном уравнении замену = . Для новой искомой функции получим уравнение – + = . После сокращения второго и третьего слагаемых в левой части последнего равенства, получим уравнение или . Следовательно, = , то есть общее решение данного уравнения = . Для того, чтобы найти решение задачи Коши, подставим в общее решение и получим 1= 1 + C, . Из общего решения с получаем решение задачи Коши .

5. Уравнением Бернулли называют уравнение следующего вида

, (12)

Уравнение (11) заменой , приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример. Найти общее решение уравнения .

Это уравнение является уравнением Бернулли. Произведя в этом уравнении замену = , , получим уравнение или = , = – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: , , . Интегрируя последнее равенство, получаем , , , . Из формулы замены находим теперь, что = + – общее решение данного уравнения.

Линейные дифференциальные уравнения более высокого порядка

Уравнение вида

, (13)

где – данные действительные числа, – данная функция, называют линейным дифференциальным уравнением порядка с постоянными коэффициентами. Если в уравнении (13) , тогда это уравнение называется однородным и имеет вид

. (14)

Рассмотрим функцию . Подставив эту функцию в уравнение (14), получим равенство , из которого видно, что функцию является решением однородного уравнения (14) тогда и только тогда когда число является решением алгебраического уравнения

. (15)

Уравнение (15) называется характеристическим уравнением, соответствующим уравнениям (13), (14).

Определение. Система линейно независимых решений однородного уравнения (14) называется фундаментальной системой решений этого уравнения. Отметим, что такая система всегда существует и общие решения уравнений (13), (14) определяются фундаментальной системой решений.

Теорема. Пусть функции образуют фундаментальную систему решений уравнения (14). Тогда: 1) функция , где – произвольные постоянные, является общим решением однородного уравнения (14); 2) функция , где – частное решение неоднородного уравнения (13), является общим решением уравнения (13).

_{Для построения фундаментальной системы решений сначала нах}одятся все корни характеристического уравнения, которые могут быть двух типов: 1) действительные корни кратности ( =1,2,…); 2) комплексные корни кратности ( =1,2,…). Если действительный корень характеристического уравнения кратности , тогда функций включаются в фундаментальную систему. Если комплексное число является корнем кратности характеристического уравнения, тогда и комплексно сопряжённое к нему число также будет корнем характеристического уравнения кратности (это следует из того, что коэффициенты уравнения (15) являются действительными числами). Этой паре комплексно сопряжённых корней соответствует 2 действительных решений однородного уравнения (14) вида , , которые также включаются в фундаментальную систему решений. Так как полином степени _{имеет ровно n комплексных корней с учётом кратности, то построенная фундаментальная система будет содержать ровно n линейно независимых решений однородного уравнения (14).}

_{Рассмотрим теперь более подробно случай уравнений второго порядка, которые чаще встречаются в приложениях. Уравнения (13),(14) в этом случае имеют вид}

, , (16)

а характеристическое уравнение является квадратным уравнением

. Возможны три случая.

1. Характеристическое уравнение имеет два различных

действительных корня , то есть дискриминант этого уравнения . В этом случае функции образуют фундаментальную систему решений, а функция является общим решением однородного уравнения (16).

Пример. Найдём общее решение уравнения

Данному уравнению соответствует характеристическое уравнение , которое имеет два различных действительных корня . Следовательно, – общее решение.

2. Характеристическое уравнение имеет один действительный корень

кратности 2, то есть дискриминант этого уравнения . В этом случае функции образуют фундаментальную систему решений, а функция является общим решением однородного уравнения (16).

Пример. Найдём общее решение уравнения

Данному уравнению соответствует характеристическое уравнение , которое имеет корень кратности 2. Следовательно, – общее решение.

3. Характеристическое уравнение имеет пару комплексно сопряжённых

корней , то есть дискриминант этого уравнения . В этом случае действительные функции образуют фундаментальную систему решений, а функция является общим решением однородного уравнения (16).

Пример. Найдём общее решение уравнения

Данному уравнению соответствует характеристическое уравнение , которое имеет два комплексно сопряжённых корня . Следовательно, – общее решение.

Отыскание общего решения неоднородного уравнения

1. Уравнение со специальной правой частью первого типа.

Теорема. Пусть функция в правой части неоднородного уравнения (13) имеет вид , где – полином степени n.

Тогда уравнение (13) имеет частное решение вида , где – полином степени n с неопределёнными коэффициентами (эти коэффициенты находят подстановкой функции в уравнение (13)), k– кратность числа a как корня характеристического уравнения (если a не является корнем этого уравнения, то k = 0).

Пример. Найдём общее решение неоднородного уравнения второго порядка

Это уравнение со специальной правой частью, которая содержит полином второй степени и a = 3. Характеристическое уравнение имеет два действительных корня . Следовательно, – общее решение однородного уравнения, а частное решение неоднородного уравнения нужно искать в следующем виде = (в рассматриваемом случае k = 1, так как число a = 3 является корнем характеристического уравнения кратности 1). Вычислим производные + , + + + . Заменив в данном уравнении функциями и сократив на , получим равенство двух полиномов + + + – – + = . Приведя в последнем равенстве подобные члены, получим . Для определения коэффициентов приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x, и получаем систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными

из которой находим . Следовательно, частное решение неоднородного уравнения , а общее решение рассматриваемого уравнения .

Пример. Найдём общее решение уравнения

Характеристическое уравнение имеет действительный корень кратности 2. Следовательно, – общее ре–

шение однородного уравнения, а частное решение неоднородного уравнения нужно искать в виде (в этом случае k = 2, так как число a = 2 является корнем характеристического уравнения кратности 2). Имеем , . Подставив в уравнение, и сократив на , получим равенство – или, после привидения подобных членов, 2A = 1, . Следовательно, частное решение неоднородного уравнения , а общее решение рассматриваемого неоднородного уравнения .