§2.1 Сеточные методы расчёта.

Сетки и шаблоны. Решение дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений с частными производными, как правило, выполняется численными методами. Эти методы основаны на дискретизации независимых переменных - их представлении конечным множеством значений в выбранных узловых точках исследуемого пространства. Эти точки рассматриваются как узлы некоторой сетки, поэтому используемые в моделировании методы — это сеточные методы. Сетка может быть триангуляционная или декартова.

Среди сеточных методов наибольшее распространение получили два метода: метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ). Обычно выполняют дискретизацию пространственных независимых переменных, т. е. используют пространственную сетку. В этом случае результатом дискретизации является СОДУ для задачи нестационарной или система алгебраических уравнений для стационарной.

Под шаблонами понимают формализованный (без вывода) переход от дифференциальных уравнений к конечным разностям. Примеры шаблонов для одномерных и двумерных задач приведены ниже. Здесь кружком большего диаметра обозначены точки, в которых аппроксимируется производная. Черными точками обозначены точки, значения фазовой переменной в которых входят в аппроксимирующее выражение. Число, записанное около узла, равно коэффициенту, с которым значение фазовой переменной входит в аппроксимирующее выражение.

Метод конечных разностей. Рассмотрим пример расчета поля между двумя достаточно длинными проводниками А и В, имеющими разность потенциалов .

Н аложим на исследуемое поле сетку с шагом . Выберем шаблон, с помощью которого по значениям потенциалов в точках (x,y) c координатами {(k-1)h,lh}, {(k+1)h,lh}, {kh,(l-1)h}, {kh,(l+1)h} и {kh,lh} определяется сумма вторых производных в точке с координатами {kh,lh}: .

Запишем систему уравнений для всех точек исследуемого пространства между проводниками. Решив её, например методом последовательных приближений, находим искомое распределение потенциалов электростатического поля.

М етод конечных элементов основан на аппроксимации не производных, а самого решения . При этом каждый элементарный участок пространства представляется в виде набора элементов с сосредоточенными параметрами. Например, это могут быть элементы сопротивления фазовому потоку при воздействии фазовой силы. Значения сопротивлений могут быть чётко увязаны с неоднородностью и анизотропностью среды.

Обратимся к рисунку плоскопараллельного поля, рассмотренного ранее. Пусть в точках пространственной сетки c координатами {(k-1)h,lh}, {(k+1)h,lh}, {kh,(l-1)h}, {kh,(l+1)h} и {kh,lh} потенциалы поля имеют значения , , , и . Между точками включены сопротивления, как показано на рисунке. Значение сопротивления участка равно

В связи с тем, что зарядов в исследуемом объёме пространства нет, то сумма фазовых потоков (у нас это поток электростатической индукции ) равна нулю, или

.

Примечание: уравнение применимо при и .

Составляя уравнения для каждой точки сетки и решая полученную систему линейных уравнений, находим искомое распределение потенциалов.

Указанным методом удобно решать изложенную выше задачу теплового поля.

Примечания. Выведенные выше уравнения модели поля имеют дифференциальный вид. При переходе к сеточным методам уравнения необходимо корректировать применительно к интегральной форме (с учётом шага сетки).