Динамические модели

Внутренние параметры системы зависят от предыстории реакции цепей (описываются дифференциальными уравнениями).

Статические модели

Внутренние параметры системы не зависят от предыстории реакции цепей (описываются алгебраическими уравнениями).

Квазистатические модели

– это такие модели, в которых изменением координат модели можно пренебречь в течении рассматриваемого периода времени.

По линейности:

• Линейные.

• Нелинейные.

По распределению параметров:

• С сосредоточенными параметрами.

• С распределенными параметрами.

По виду внутренних сигналов:

• Непрерывные

• Дискретные

• Смешанные

Тема 2: Математические модели микроуровня. §2.1 Область применения, основные положения.

Микроуровень (иначе называемый уровнем В) - это уровень проекти­рования базовых элементов. При моделировании на этом уровне фазовые пе­ременные фигурируют как функции нескольких независимых переменных, к которым относятся пространственные координаты и время, причем и про­странство, и время рассматриваются как непрерывные. Математические мо­дели микроуровня отражают процессы, протекающие в общем случае в трех­мерной сплошной среде. Элементами этого уровня являются участки объ­емной структуры, например токоведущая шина в электрических цепях, зубчатое колесо в редукторе, трубка с жидкостью в гидроприводе и т. п.

Типичными фазовыми переменными микроуровня являются плотности электрического тока и магнитного потока, плотности вещества, напряженно­сти полей, концентрации частиц и др.

Внутренними параметрами являются такие величины, как электропро­водность, диэлектрическая и магнитная проницаемость, теплопроводность, концентрация примесей, геометрические размеры элементарных участков, а выходными параметрами — гидравлическое сопротивление участка трубо­провода, электрическое сопротивление резистора, ёмкость конденсатора, магнитная проводимость, жесткость пружины.

Математические модели объектов данного уровня представляют собой дифференциальные уравнения в частных производных. В связи с учетом ха­рактера воздействий и фазовых переменных, распределенных в пространстве, эти модели часто называют распределенными моделями с заданными гра­ничными условиями. Решение дифференциальных уравнений в частных про­изводных представляет значительные вычислительные трудности. Использо­вание распределенных моделей ограничивается случаями объектов с малым числом участков.

Одним из главных принципов создания моделей микроуровня является следующий: при создании теоретических моделей целесообразно исхо­дить из основных физических законов в их наиболее «чистом», фунда­ментальном виде. Соблюдение этого принципа обеспечивает получение достаточно универсальных моделей. В противном случае повышается опас­ность того, что созданная модель окажется несправедливой для ряда условий, причем эти условия могли остаться вне поля зрения пользователя модели.

К наиболее общим фундаментальным законам в первую очередь относятся законы сохранения. Общая формулировка этих законов, может быть записана в следующем виде: изменение во времени некоторой субстанции в элементарном объеме равно сумме притока (стока) этой субстанции через поверхность элементарного объема и скорости генерации (уничтожения) субстанции в рассматриваемом объеме dφ/dt=-divJ+G, где φ — некоторая фазовая переменная, выражающая субстанцию (плотность, энергия, импульс и т. п.); J — поток фазовой переменной; G — скорость генерации субстанции.

Поток фазовой переменной есть вектор J. Дивергенция этого вектора определяется формулой .

Простейшим примером уравнений сохранения является уравнение , описывающее электростатическое поле. В декартовой системе координат это уравнение более известно как уравнение Пуассона . Здесь ρ - плотность электрического заряда; ε - диэлектрическая проницаемость среды, U – электрический потенциал.

Примером из теплотехники может быть нагрев проводника протекающим по нему током. В каждой точке пространства генерируется тепло мощностью , где - плотность тока, - удельное сопротивление материала. Часть тепловой энергии отдаётся соседним точкам , где - коэффициент теплопроводности, - температура. Оставшаяся часть тепла идёт на нагрев , где - удельная теплоёмкость материала.