§1.2 Этапы математического моделирования.

1. Происходит переход от технического объекта (ТО) к рабочей схеме (РС), обычно на этом этапе делаются все допущения и выбирается предметная область исследования.

2. Происходит переход от РС к ее математическому описанию – математической модели (ММ) по тем законам, которые были выбраны на первом этапе.

3. Производится качественный и оценочный анализ и выбирается рабочая ММ. Уточнение этих результатов ведет за собой выбор другой расчетной схемы.

4. В некоторых случаях строят упрощенную ММ, которая качественно (но не количественно) хорошо описывает технический объект.

5. Составляется алгоритм для рабочей ММ.

6. Составление программы.

По результатам математического моделирования даются практические рекомендации для ТО, после этого данная модель либо остается базовой, либо усовершенствуется с I-ого этапа.

§1.3 Свойства математических моделей (мм).

1. Полнота ММ.

Позволяет отразить в достаточной мере те характеристики и особенности технического объекта (ТО), которые нас интересуют.

2. Точность ММ.

Дает возможность обеспечить совпадение реальных данных с данными, полученными с помощью ММ. Обычно здесь выделяют погрешности, возникающие при моделировании: относительная и абсолютная погрешности.

3. Адекватность ММ.

Способность ММ описывать выходные данные с заданной точностью.

4. Устойчивость ММ.

Это зависимость выходных данных от точности входных данных.

5. Продуктивность ММ.

Связана с способностью располагать достаточно достоверными исходными данными.

Точность результатов не может быть выше точности исходных данных (Принцип Крылова).

6. Наглядность ММ.

Как правило, модель должна быть легко-читаема и универсальна к другим объектам.

§1.4 Классификация математических моделей (мм).

По свойству технического объекта:

1. структурные,

2. функциональные,

3. структурно-функциональные.

Структурные

Если математическая модель отражает устройство технического объекта и связи между составляющими его элементами, такая математическая модель называется структурной.

• Топологические модели отображают состав технического объекта и связи между его элементами. Их обычно применяют на начальном этапе проектирования.

• Геометрические модели обычно применяются при проектировании различных деталей и машин.

Функциональные

Если же математическая модель отображает происходящие в техническом объекте процессы, в этом случае ее называют функциональной.

1. Алгоритмические (модель – некий алгоритм).

2. Аналитические (обычно описываются в виде точных формул, зависимостей и законов).

По способу получения математические модели делятся:

1. Теоретические (подчиняются различным основным законам).

2. Эмпирические (на опыте).

3. Полуэмпирические (строятся на основе пи-теоремы).

Пи-теорема:

Если мажду n-параметрами, характеризующими изучаемый объект, существует зависимость (информационная, физическая, химическая…), то эту зависимость можно представить в виде - безразмерных операций, где k – число независимых единиц измерения.

Пи-теорема упрощает анализ и позволяет в удобной форме представлять результаты ее качественного исследования.

Пример 1:

Пример 2:

Маятник с невесомой, нерастяжимой нитью.

Е сли пренебречь сопротивлением воздуха, то в системе устанавливаются незатухающие гармонические колебания.

П усть ставится задача определить период колебаний в зависимости от выбранных параметров системы. В качестве параметров системы выбираем:

В этом случае получаем 5 основных характеристических параметров.

Одной из безразмерных величин необходимо взять угол отклонения математического маятника( ).

Исключаем массу из рассмотрения, в этом случае не зависит от :

Получим основное соотношение системы через основные параметры:

Вычислить функцию , используя данные соотношения невозможно.

Пример 3:

Математическая модель крыла самолета.

P

P



b

Основные параметры системы:

• подъемная сила на единицу длины –

• плотность воздуха –

• скорость воздуха –

• длина крыла –

• угол атаки

Даная формула позволяет определить подъемную силу крыла по выбранным параметрам системы.

В зависимости от параметров математические модели бывают:

1. Стохастические (параметры – случайные величины)

2. Детерминированные (параметры – определенные величины)

Для стохастических моделей используются методы теории вероятности, а в качестве величин берутся: математические ожидания, дисперсии, законы распределения. В большинстве случаев случайные величины являются либо неизвестными, либо известными с малой точностью, и в этом случае математическая модель не удовлетворяет требованиям продуктивности.

Для детерминированных математических моделей все переменные являются известными, и такая математическая модель всегда продуктивна.

Пример 1

Пусть имеется тело однородное по объему с температурой , температура окружающей среды – , с коэффициентом теплопроводности , определим как меняется .

Тепловой поток: (на единицу площади).

О тдаваемая теплота: .

Из законов физики известно: , где - теплоемкость тела.

, где – начальное значение температуры тела.

Данная задача является детерминированной, в случае если все коэффициенты модели известны.

Пусть

По состоянию во времени математические модели бывают:

• Динамические

• Статические

• Квазистатические