§4.2. Логическое моделирование
При логическом моделировании используют раздел математической логики, называемый алгеброй логики (исчислением высказываний или булевой алгеброй). В алгебре логики изучаются отношения между дискретными двузначными величинами, т. е. величинами, которые могут принимать одно из двух возможных значений. Эти возможные значения обозначают цифрами 1 и 0 или соответственно словами «истина» и «ложь».
Подобные величины можно отождествлять с разного рода высказываниями, если в высказываниях представляет интерес только факт их истинности или ложности. Эти величины и операции над ними называют булевыми переменными и булевыми (логическими) операциями.
Примерами булевых переменных (при обозначении высказываний символом х) могут служить следующие высказывания:
«условие
работоспособности по параметру
выполняется», которое может быть истинным
или ложным (в первом случае надо записать
х = 1, во втором — х = 0);
«сигнал на входе устройства есть» будет истинным (х = 1) при приходе сигнала, ложным (х = 0) — при его отсутствии;
«контакты реле замкнуты»; «вал имеет с левого торца фаску»; «резервуар наполнен» и т. п.
Отношения
между булевыми переменными выражаются
булевыми функциями, которые также могут
принимать значения только из множества
{1, 0}. Булевы функции выражают сложные
высказывания, например: «ТЗ выполнено,
если выполнены все n условий
работоспособности». Обозначая выполнение
ТЗ символом у, а выполнение
условия работоспособности
= 1, 2, ..., n, можно заметить, что у есть
функция аргументов
.
В данном
случае имеем дело с булевой функцией,
называемой конъюнкцией, символ конъюнкции
—
.
Итак, функция
принимает
значение 1 тогда и только тогда, когда
все аргументы истинны:
.
К основным булевым функциям кроме
конъюнкции относят дизъюнкцию и
отрицание. Операция дизъюнкции
обозначается символом
.
Функция
принимает
значение 1, если значение 1 имеет хотя
бы один из аргументов
,
,
...,
.
Операция отрицания одноместная, т. е.
выполняется над одним аргументом и
обозначается чертой над х. Функция
всегда принимает значение, противоположное
значению аргумента, т. е. у = 1 при х = О и
у = 0 при х = 1.
В
качестве примера применения алгебры
логики для получения логических моделей
запишем выражение для тока
в контактной схеме, показанной ниже.
Ток может принимать два значения, одно
из них равно нулю, другое
.
Этим значениям поставим в соответствие
булевы значения 0 и 1. Пусть единичному
значению переменных
соответствует включенное состояние
реле. Отметим т
акже,
что последовательное соединение
замыкающих контактов описывается
функцией «конъюнкция» (и), а параллельное
соединение — функцией «дизъюнкция»
(или). Действительно, чтобы ток
принял значение 1, при последовательном
соединении нужно, чтобы все контакты
сработали. При параллельном соединении
= 1, если хотя бы один контакт замкнется,
т. е. если хотя бы один из
станет равным 1. Если при этом вместо
замыкающего контакта фигурирует
размыкающий, то соответствующая ему
переменная входит в уравнения со знаком
операции отрицания. С учётом сказанного
для схемы рис.
.