Конвертор

_, .

Примеры: электрический трансформатор, зубчатая передача. Для идеального трансформатора , . Трансформатор понижает или повышает напряжение в n раз; в формуле для напряжений знак «+n» выбирается при согласном включении катушек трансформатора, а «-n» - при встречном. Обратный знак в формуле для токов объясняется принятым у четырёхполюсников выбором направления выходного тока.

Для реального трансформатора (две магнитно-связанные катушки индуктивности): , , где M - взаимная индуктивность (M > 0 при согласном включении катушек и M < 0 — при встречном).

§3.4. Топология модели и правила составления уравнений

Математические модели элементов, рассмотренные выше, объединяют в математическую модель технической системы с помощью топологических уравнений. Топологические уравнения базируются на уравнениях равновесия и уравнениях непрерывности физической субстанции.

Электрическая подсистема. Связи между отдельными элементами этой подсистемы устанавливаются на основе законов Кирхгофа. Условие равновесия определяется первым законом Кирхгофа применимым для каждого из узлов схемы.

Условие непрерывности определяется вторым законом Кирхгофа применимым для каждого из контуров схемы.

Механическая поступательная подсистема. Условие равновесия определяется принципом Даламбера: сумма сил, действующих на тело, включая инерционные силы, равна нулю, .

Условие непрерывности следует из принципа сложения скоростей: абсолютная скорость является суммой относительной и переносных скоростей, или же сумма этих трех скоростей равна нулю (переносных скоростей может быть несколько: с первого тела на второе, со второго на третье и т. д.), т. е. .

Для механических систем рассмотренные принципы применимы, если силы и скорости представлены в векторном виде или для каждой координатной оси.

Механическая вращательная подсистема. Условие равновесия определяется принципом Даламбера для вращательных подсистем: сумма моментов сил, действующих на тело, включая момент, вызванный моментом инерции, равна нулю, .

Условие непрерывности следует из принципа сложения угловых скоростей: .

Гидравлическая (пневматическая) подсистема. Аналогом уравнения первого закона Кирхгофа является уравнение равновесия в узлах подсистемы, т.е. , Q - поток, подтекающий или оттекающий от узла.

Аналогом уравнения второго закона Кирхгофа является уравнение неразрывности подсистемы, т. е. , сумма падений давлений при обходе по контуру равна нулю.

Тепловая подсистема. Уравнение равновесия в узлах подсистемы , т.е. сумма тепловых потоков в узлах подсистемы равна нулю.

Уравнение непрерывности , т. е. сумма разностей температур при обходе по замкнутому контуру равна нулю.

§3.5. Методы исследования макромоделей

Узловой метод в классической форме записи

Метод переменных состояния.

Тема 4: Модели метауровня §4.1. Функциональное моделирование

В зависимости от характера и сложности объекта исследования в высшем иерархическом уровне А (на метауровне) можно выделить различное количество подуровней.

На подуровне проектирования функциональных схем в качестве математических моделей элементов используют либо факторные макромодели, часто дополняемые необходимыми логическими, выражениями, либо макромодели в виде передаточных функций. В последнем случае имеет место функциональное моделирование. В качестве основной топологической матрицы, используемой при объединении математических моделей элементов в математическую модель системы, фигурирует матрица связей.

При наибольшей степени абстрагирования от физических свойств элементов и сигналов непрерывная система вырождается в дискретную, в математической модели системы остаются только логические переменные и связи между ними. Такие логические модели находят применение при проектировании функциональных схем цифровых вычислительных машин и устройств дискретной автоматики. Математический аппарат логического моделирования — математическая логика.

Аппарат функционального моделирования применяют при проектировании не только функциональных, но и принципиальных схем, и потому функциональное моделирование занимает положение связующего звена между уровнями А и Б в иерархическом проектировании. На подуровне проектирования структурных схем математические модели систем должны отражать информационные связи между элементами. Типичные математические модели систем этого подуровни формируются на основе статистических закономерностей поступления и обработки информации, при этом применяют такие разделы теории вероятностей, как теория очередей и теория массового обслуживания.

Функциональное моделирование появилось и получило широкое распространение в рамках традиционных немашинных методик исследований.

Основой моделирования на функциональном уровне является использование аппарата передаточных функций. То есть, вместо двух типов фазовых переменных, используемых на микро и макроуровнях, в функциональных моделях фигурируют переменные одного типа, называемые сигналами. Физический смысл сигнала конкретизируется в каждом конкретном случае исходя из особенностей задачи. При этом модель каждого элемента (модели микро и макроуровня) представляют в виде уравнения вход – выход, т.е. в виде .

Естественно, что при этом используются достаточно серьезные допущения и ограничения. В частности это требование безинерционности, линейности математических моделей инерционных элементов.

При выполнении требования линеаризации математических моделей инерционных элементов процессы в инерционном элементе описывают системой линейных дифференциальных уравнений:

, .

Здесь: V — вектор переменных состояния; и - векторы входных и выходных сигналов; А, В, С и D - постоянные матрицы.

Линейность системы позволяет линеаризировать систему уравнений, перейдя от оригиналов к изображениям с помощью преобразования Лапласа:

;

.

Из первого имеем , где 1 — единичная матрица того же порядка, что и матрица А.

Подставляя во второе, получаем

.

Матрицу называют матрицей передаточных функций, ее элемент равен отношению изображения сигнала на выходе к изображению сигнала на входе. Элементы системы, называемые при функциональном моделировании звеньями, часто рассматривают как объекты с одним входом и одним выходом. Тогда математическая модель элемента есть простое соотношение, связывающее входную и выходную фазовые переменные: , где h(р) — передаточная функция.

Объединение математических моделей элементов в математическую модель системы осуществляется при функциональном моделировании отождествлением тех входных и выходных величин, которые соответствуют соединяемым входам и выходам (информация о соединениях задается матрицей связей). Столь простое правило построения математической модели системы не может быть строго обосновано; оно вытекает из допущения, что передаточные функции всех звеньев h(р) не зависят от характера и величины нагрузки.

П усть имеем два звена с передаточными функциями и , соединенные последовательно. Отождествляя с , получаем .

Последнее соотношение и принимается в качестве математической модели рассмотренной системы. При этом в формуле не учтено изменение функции , происшедшее при подключении второго звена к выходу первого.

Второе серьезное допущение функционального моделирования, заключающееся в не учете влияния нагрузки, ограничивает область его применения системами из элементов с большими запасами по нагрузочной способности.

О чевидно, что если система имеет обратные связи, то математическая модель физической системы превращается в уравнение или в систему уравнений. Так, для простого примера обратной связи, имеем .

Макромодели в виде передаточных функций чаще всего получаются с помощью теоретического подхода путем линеаризации полной математической модели и определения матрицы передаточных функций через обращение матрицы .