
- •Распределение максвелла–больцмана
- •Распределение по координатам и импульсам
- •Распределение Максвелла
- •Распределение по импульсам
- •Распределение по скоростям
- •Средняя и средняя квадратичная проекции скорости
- •Распределение в сферических координатах
- •Распределение по модулю скорости
- •Наиболее вероятная энергия
- •Средняя энергия
- •Поток частиц
- •Поток импульса
- •Поток энергии
- •ВыТекание газа из отверстия сосуда в вакуум
- •Термоэлектронная эмиссия
- •Время выхода частицы из потенциальной ямы
- •Распределение Больцмана
- •Получение распределения
- •Формула Больцмана
- •Газ в центрифуге
- •Ориентационная поляризация диэлектрика
- •Термодинамические потенциалы Основные положения
- •Химический потенциал системы
- •Электрохимический потенциал
- •Внутренняя энергия
- •Равновесие двухфазной системы
- •Химический потенциал системы
- •Активность системы
- •Распределение по состояниям максвелла–больцмана
- •Термодинамический потенциал Гиббса
- •Большое каноническое распределение
- •Распределение микросостояний по фазовому пространству
- •Интеграл состояния
- •2. Распределение электронов у поверхности металла
- •3. Капля жидкости в насыщенном паре
- •4. Заряженная капля жидкости в насыщенном паре
- •Вопросы коллоквиума
- •Вопросы экзамена
Формула Больцмана
Объект.
Газ в однородном поле тяжести. Сила mg
действует на частицу вниз. Тепловая
энергия
раскидывает частицы по разным высотам.
Концентрация
уменьшается с высотой z.
Количественное описание. Потенциальная энергия частицы
,
где m – масса частицы. Для концентрации получаем из (2.56а) формулу Больцмана
,
(П.6.1)
– концентрация
при
.
Если N частиц заполняют цилиндр 0 z < с поперечным сечением S, тогда вероятность обнаружить частицу в интервале
,
(П.6.2)
где
.
Получаем концентрацию при
,
и около точки z
.
При
находим
,
где
– основание неперовых логарифмов.
Площадь под кривой
.
Среднее положение частицы
,
где использовано
,
(5.6.2)
,
.
Число частиц в цилиндре
.
Средняя
потенциальная энергия частицы с учетом
равна
.
Этот результат следует также из теоремы (2.38) и (2.39) о распределении тепловой энергии по степеням свободы. Для одной степени свободы
,
.
Для
потенциальной энергии
подставляем
.
Частные
значения.
При T
= 300К
для воздуха
= 29 кг/кмоль получаем
.
Число частиц в столбе воздуха с единичным
поперечным сечением выражаем через
давление
.
Для Р
= 760 мм р.с. находим
.
Концентрация молекул у поверхности земли – число Лошмидта
.
Газ в центрифуге
Объект. Центрифуга – цилиндрический сосуд с газом радиусом R, длиной образующей H, вращается вокруг оси с угловой скоростью . В системе отсчета сосуда на молекулы действует центробежная сила инерции, направленная от оси вращения. В результате концентрация газа увеличивается с удалением от оси.
Количественное описание. В системе отсчета, связанной с вращающимся сосудом, центробежная сила
создает потенциальную энергию. Используем
,
,
находим потенциальную энергию частицы массой m, находящейся на расстоянии r от оси:
.
Распределение Больцмана (2.55)
в цилиндрических координатах
,
дает
.
Интегрируем по z и φ, и получаем вероятность нахождения частицы в цилиндрическом слое радиусом r толщиной dr
(П.6.2)
Вероятность найти частицу в единице объема на расстоянии r от оси
,
где объем цилиндрического слоя радиусом r толщиной dr
.
Концентрация частиц
,
где N – число частиц в центрифуге. Учитывая (П.6.2), получаем
,
(П.6.3)
где
– концентрация на оси вращения;
– увеличивается
при удалении от оси.
Условие нормировки на число частиц
с учетом (П.6.3) дает
.
(П.6.4)
Ориентационная поляризация диэлектрика
Объект.
Молекула полярного
диэлектрика
(например, H2S)
имеет электрический дипольный момент
с модулем
,
где q
– модуль заряда иона; l
– расстояние между ионами. Диполи разных
молекул направлены по всем направлениям.
Внешнее электрическое поле
поворачивает диполи и устанавливает
их вдоль поля, возникает ориентационная
поляризация. Тепловое движение
разбрасывает направления диполей.
Средняя проекция дипольного момента
на направление поля определяет поляризацию
диэлектрика, т. е. дипольный момент
единицы объема.
Количественное описание. В однородном электрическом поле Е, направленном по оси z, потенциальная энергия диполя
.
Доказательство:
Электрическое поле направлено в сторону быстрейшего убывания потенциала. В однородном поле на рисунке потенциал точки z
.
Эквипотенциальные поверхности перпендикулярны оси z
.
Для заряда q потенциальная энергия
,
тогда энергия диполя
,
где
,
.
Для получения средней проекции дипольного момента используем распределение Больцмана (2.55)
.
Выбираем сферические координаты с осью z, направленной по полю, тогда
.
Потенциальная
энергия
не зависит от радиуса. Интегрируем
(2.55)
по радиусу и получаем
,
где элемент телесного угла
.
Потенциальная энергия не зависят от угла φ. Интегрируем по φ
,
,
.
Упрощаем выражения, вводя:
– относительная
энергия взаимодействия,
,
.
Получаем
.
Используем
,
находим функцию распределения ориентаций дипольного момента
.
(П.6.5)
Средняя проекция дипольного момента
.
Интегрируем по частям
,
,
,
.
Получаем
,
(П.6.6)
где L(a) – функция Ланжевена.
В слабом поле
,
,
разлагаем в ряд
,
получаем
,
,
,
где
ориентационная поляризуемость
обратно пропорциональна температуре.
В сильном поле
,
,
,
,
– все диполи ориентированы по полю, как показано на рисунке. Возникает насыщение намагниченности.
Поль Ланжевен разработал статистическую теорию парамагнетизма в 1905 г. и получил результат, аналогичный (П.6.6).
Петер Дебай применил в 1911 г. статистический метод Ланжевена для поляризации диэлектриков и назвал функцию (П.6.6) именем Ланжевена.
В честь Дебая названа внесистемная единица электрического дипольного момента
1 Д (дебай) = 110–18 ед. СГС = 3,3356410–30 Клм.
Поль Ланжевен (1872–1946) Петер Дебай (1884–1966)