Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет

Курсовая работа по теоретическим основам электротехники

Исследование прохождения сигналов

через линейную электрическую цепь

Вариант 15

Преподаватель: Куткова Л.В.

Студент гр. 0341 Шин Е.Д.

Санкт-Петербург

2002

1. Нормирование параметров.

R₁=R₂=210³ Ом

L₁=L₂=210^-3 Гн

С₁=100010^-12Ф

t_баз=10^-6с

_баз=¹/t_баз=10⁶с^-1

R_баз=R₁=R₂=210³ Ом

R_1*=R_2*=1 Ом

L_1*=L_2*=

C_1*=C₁_базR_баз=100010^-1210⁶210³=2

2. Определение передаточной функции цепи Н(s)

Z_L1=Z_L2=SL_1*=S

Z_C=¹/SC_1*=1/2S

u`_R2=1B

i`<sub>2</sub>=i`_L2 = i`<sub>R2</sub>= u`_R2/R₂=1A

u<sup>`</sup><sub>L2</sub>=i`_L2Z_L2=SL_2*

u`<sub>C1</sub>=u<sup>`</sup>_R2u^`_L2=1+SL_2*

i`<sub>C1</sub>=u`_C1/Z_C1=SC_1*(1+SL_2*)=SC_1*+S²L_2*C_1*

i`<sub>1</sub>=i`_L1= i`<sub>R1</sub>= i`_C1+i`_L2=1+SC_1*+S²C_1*L_2*

u`<sub>L1</sub>=i`_L1Z_L1=SL_1*+S²L_1*C_1*+S³C_1* L_1*L_2*

u`<sub>R1</sub>= i`_R1R_=1+SC_1*+S²C_1*L_2*

u`<sub>1</sub>=u`_R1+u`<sub>L1</sub>+u`_C1=SL_1*+S²L_1*C_1*+S³C_1*L_1*L_2*+1+SC_1*+S²C_1*L_2*+1+ SL_2*=

=S+2S²+2S³+1+2S+2S²+1+S=2S³+4S²+4S+2

H_u(S)= =

Полюсы функции

S₁=

S₂=

S₃=

H_u(0)=¹/₂;

H_u()=0;

3. Расчет частотных характеристик цепи H(j). Построение графиков АЧХ, А() и ФЧХ, Ф(), а также графика амплитудно-фазовой характеристики (АФХ);

H(j)= =

График амплитудно-частотной характеристики

A ()=|H(j)|=

График Фазо-Частотной Характеристики

Ф ()=arg(H(j))=-arctg()-arctg()

Амплитудно-Фазовая Характеристика

H(j)=

Расчитаем полосу пропускания:

Определим частоту _пп при которой A(_пп)>^Amax/_2= ¹/_22=0,35

Преобразуем:

Получим корни: -1,1, (-1/2+i3/2), (-1/2-i3/2), (1/2+i3/2), (1/2-i3/2)

Следовательно: _пп=1^рад/_c, что видно на графике

Диапазон пропускания [0;1], что соответствует фильтру нижних частот.

Амплитуда выходного сигнала будет равна 0,5A_вх

Если спектр входных сигналов попадает в полосу пропускания, то он будет мало искажен, т.к. в области полосы пропускания график близок к линейному.

t_зап=

5. Определение переходной h₁(t) и импульсной h(t) характеристик.

H₁(S)= =

A₁=0.5000 | S=0

A₂=-0.5000 | S=-1

A₃=-j 0.2887=0.2887e ^-j90 | S=

A₄=j 0.2887=0.2887e ^j90 | S=

h₁(t)=0.50.5e^-t +0.5774e ^-t/2cos(t+90)

Время переходного процесса t_пер=3_max=6c

h₁(0)=0; h₁()=0.5;

Верно, т.к. воздействие ₁(t), т.е.

в точке 0⁺  в точке 0⁺ 

=> следующая схема замещения => следующая схема замещения

U₁

U₁

L₁ L₂

h₁(0)=0 h₁()=0.5

Г рафик переходной характеристики h₁(t)

H(S)=

A₁=0.5 | S=-2

A₂=-0.25-i0.1443=¹/_23e^-j150 | S=-1+i3

A₃=-0.25+i0.1443=¹/_23e^j150 | S=-1i3

h(t)=e^-t+¹/_e^-t/2cos(t150)

Время переходного процесса =3_max=6c

График импульсной характеристики h(t)

6. Вычисление реакции цепи при воздействии одиночного импульса на входе.

Продифференцируем воздействие. В результате получим следующую зависимость

Еще раз продифференцируем

Где U_m=100B; t_и=25,12

U_вх(S)=

U_вых(S)=U_вх(S)H(S)

Посчитаем сначала функцию ^15,96/_S² H(S)

H_2S(S)=

=

Расчеты проводились при помощи программы MathCad 8.1

A₁=7.962 | S=0

A₂=-7.962 | S=0

A₃=7.962 | S=-1

A₄=3,981-j2,298=4,597e^-j30 | S=-¹/₂+i^3/₂

A₅=3,981+j2,298=4,597e^j30 | S=-¹/₂i^3/₂

H_2S(t)=7,962t-7,962+7,962e^-t+9,194e^-t/2cos(^3/₂t-30)

Запишем уравнение выходного сигнала

U_вых(t)=H_2S(t)_(t)H_2S(t,28)_(t,28)H_2S(t,84)_(t,84)+H_2S(t25,12)_(t25,12)

Как и ожидалось в п.3 Амплитуда выходного сигнала относительно амплитуды входного падает приблизительно в 2 раза, время запаздывания приблизительно равно 2с, что удовлетворяет выводам о времени запаздывания в п.3.

7. Определение спектральных характеристик одиночного импульса воздействия.

Изображение входного сигнала имеет вид:

U_вх(S)=

Спектральная плотность входного одиночного сигнала

U_вх(j)===

===

=

Амплитудный спектр входного одиночного сигнала:

A.С.=|U_вх(j)|

A.С.=

=0 A_вх=415,92.42,14=1883,6

=0.5 A_вх=254,4

=1 A_вх=0

=1.5 A_вх=28,3

=2 A_вх=0

=2.5 A_вх=10,175

=3 A_вх=0

Г рафик амплитудного спектра:

Ширина спектра определяется по 10%-му амплитудному критерию, составляет:

  0,548 (рад)

Фазовый спектр входного одиночного сигнала:

Ф_kвх()=arg(U_вх(j))=arg(sin(9,42) sin(3,14)),56

График фазового спектра:

Сопоставляя спектр входного сигнала с частотными характеристиками цепи, можно установить, что существенная часть амплитудного спектра входного сигнала укладывается в полосу пропускания, а ФЧХ этой области приближенно линейная. Поэтому искажение входного сигнала после прохождения через цепь будет незначительным.

10. Определение спектра периодического входного сигнала.

В ходной сигнал имеет вид:

T=25,12c

Входной сигнал представим в виде отрезка ряда Фурье:

u₁(t)=, где ₁=^2/_T

A_kвх=²/_T|I_вх(j)| =k₁=k^2/_T^k/₄

A_kвх==

Ф_kвх=arg(I_вх(j)) =k₁=k^2/_T^k/₄

Ф_kвх=arg(sin(9,42) sin(3,14)),56= arg(sin(³/₄k) sin(¹/₄k))k

Таблица значений A_kвх, Ф_kвх при k=0,1,2…

k	Akвх	Фkвх
0	150	0
1	40,519	
2	20,26	
3	4,502	-
4	0	0
5	1,621	0
6	2,25	-
7	0,827	0
8	0	0
9	0,5	0

Г рафик дискретного амплитудного спектра:

Г рафик дискретного фазового спектра:

Запишем ряд Фурье:

u_вх(t)=75+40.5cos(^t/₄)+20,26cos(^t/₂)+4,502cos(^3t/₄-)+0+1,621cos(^5t/₄)+2,25cos(^3t/₂-)+ +0,872cos(^7t/₄)+0+0,5cos(^9t/₄)

Построим график входного сигнала

Г рафик входного сигнала, разложенного в ряд Фурье при 3 членах.

Г рафик входного сигнала, разложенного в ряд Фурье при 9 членах.

Таким образом можно сделать вывод, что при разложение сигнала в ряд Фурье при 3-х членах получается мало искаженный сигнал, но при использовании большего количества не нулевых членов, достигается более высокая точность.

11. Приближенный расчет реакции при периодическом воздействии.

Выходной сигнал представим в виде отрезка ряда Фурье.

u₂(t)=, где ₁=^2/_T

Параметры C_k и _k можно посчитать следующим образом

=

=Ф_k-arctg(^k/₄)-arctg()

Таблица значений A_kвх, Ф_kвх при k=0,1,2…

k	Ck	k
0	75	
1	20	
2	10	
3	2	
4	0	
5	0,396	
6	0,32	
7	0,076	5.1
8	0	6.1
9	0,022	9.2

Г рафик дискретного амплитудного спектра:

График дискретного фазового спектра

З апишем ряд Фурье:

u_вх(t)=32.5+20cos(^t/₄1,16)+10cos(^t/₂-1.35)+2cos(^3t/₄-1.53)+0+0,396cos(^5t/₄-0.9)+ +0,32cos(^6t/₄-)+0,076cos(^7t/₄-1.1)+0+0,022cos(^9t/₄-1.2)

Построим график входного сигнала

График входного сигнала, разложенного в ряд Фурье при 3 членах.

Г рафик входного сигнала, разложенного в ряд Фурье при 9 членах.

Т аким образом можно сделать вывод, что при разложение сигнала в ряд Фурье при 3-х членах получается мало искаженный сигнал, но при использовании большего количества не нулевых членов, достигается более высокая точность.

Выводы: При выполнении курсовой работы была найдена передаточная функция цепи (H(S)), Знаменатель которой является характеристическим полиномом цепи, коэффициенты характеристического полинома положительны, исходя из которого вычислены нули и полюсы цепи. На основе H(s), было также найдены АЧХ и ФЧХ цепи.

Исходя из АЧХ мы можем определить данную цепь фильтр нижних частот, с полосой пропускания 1.

Был исследован входной одиночный импульс, найден его амплитудный спектр, сравнивая ширину его спектра с полосой пропускания АЧХ цепи, последовал вывод о деформации сигнала на выходе (время запаздывания = 1.19, Передние и задние фронты сигнала сглажены), что подтверждается численными расчета в п.6.

Амплитуда вы

Входное воздействие и реакция цепи были разложены в ряд Фурье, при этом использовалось преобразование Лапласа, были приведены графики сигналов, при 3 и 9 членах в ряде Фурье, что показало, что искажение сигнала при увеличении членов незначительное.