Определители и их свойства
Пусть А — квадратная матрица порядка п, п > 1:
Определителем квадратной матрицы А порядка п, п > 1, называется число
где М1<j> - — определитель квадратной матрицы порядка п - 1, полученной из матрицы А вычеркиванием первой строки и j-го столбца. Из приведенного определения легко получить простое выражение определителя квадратной матрицы второго порядка через элементы матрицы:
поскольку
Формулу называют формулой вычисления определителя разложением по первой строке. Число (-1)j+1M1<j> называется алгебраическим дополнением элемента a1j .
Пусть Mi<j> - определитель квадратной матрицы, порядка п - 1, полученной из матрицы А вычеркиванием i -й строки и j -го столбца; число (-1)i+jMi<j> называется алгебраическим дополнением элемента a1j матрицы А. Справедливо следующее утверждение.
Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е. для произвольной квадратной матрицы порядка п для всех i, 1 i п, и для всех j, 1 j п, справедливы формулы
Приведенные формулы называют формулами вычисления определителя разложением по i-й строке и разложением по j-му столбцу соответственно.
При решении задач линейной алгебры необходимость вычислять определитель возникает достаточно часто. Наиболее распространенные приложения определителя — исследование и решение линейных систем. Исследованию линейных систем посвящен специальный раздел. Здесь рассмотрим решение линейных систем по формулам Крамера. Пусть
система п линейных алгебраических уравнений относительно п неизвестных xi, х2, ..., xп. Матрица
называется матрицей системы, а вектор-столбец b = (b1 b2 ... bп) - столбцом правых частей системы. Рассмотренная система линейных алгебраических уравнений может быть записана в матричной форме в виде Ах = b, где x - вектор-столбец неизвестных, x = (x1 х2 ... xп) .
Справедливо
следующее утверждение. Если определитель
= detA
матрицы
системы Ах
=
b
отличен от нуля, то система имеет
единственное решение x1,
х2,
..., xп,
определяемое формулами Крамера
,
где
i
-определитель матрицы п-го
порядка, полученной из матрицы системы
заменой i-го
столбца столбцом правых частей.
ЗАДАНИЕ 3
Вычислите разложением по указанной строке (столбцу) определитель матрицы
Выполните вычисления для матрицы Н, построенной в задании 2, разложением по 2-й строке (варианты 1-10), по 2-му столбцу (варианты 11-20).
Порядок выполнения задания
1. Установите режим автоматических вычислений.
2. Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1.
3. Введите матрицу.
4. Запишите в тетради выражение для вычисления определителя матрицы разложением по указанной в задании строке (столбцу).
5. Сформируйте матрицы, полученные вычеркиванием соответствующих строк и столбцов заданной матрицы, и выведите их на экран.
6. Введите выражение для вычисления определителя, вычислите и выведите на экран его значение.
7. Вычислите определитель матрицы, используя функцию Mathcad. Сравните результаты.