26.Расчёт деревянных элементов цельного сечения на косой изгиб.

Косоизгибаемые элементы –это, как правило, балки и прогоны скатных покрытий. Косым называется изгиб, при котором направление действия усилия не совпадает с направлением одной из главных осей поперечного сечения элемента. В этом случае действующее усилие раскладывается по направлению главных осей в сечении, а затем находят изгибающие моменты, действующие в этих плоскостях.

В данном случае нормальные напряжения находят по формуле δ_u=М_x/W_x+М_y/W_y≤R_u,

Вертикальная нагрузка, например, равномерная «q» и изгибающий момент от неё М при косом изгибе элемента прямоугольного сечения под углом α раскладывается на нормальные и тангенсальные (скатные) составляющие вдоль осей сечений.

Относительно этих же осей определяют моменты сопротивления W и моменты инерции Y сечений:

δ_u=М_x/Y_x×y_1,2, Y_x=Ycosα

Косоизгибаемые элементы, так же необходимо проверять по прогибам. Эти прогибы вычисляют с учётом геометрической суммы прогибов относительно каждой оси по формуле:

, ,

27.Расчёт элементов конструкций на внецентренное сжатие и сжатие с изгибом.

Сжатоизгибаемые элементы работают одновременно на сжатие и изгиб. Например, это элементы верхнего пояса ферм, в которых кроме сжатия действует ещё изгиб от межузловой нагрузки от веса покрытия.

Элементы верхнего пояса ферм могут так же испытывать внецентренное сжатие, когда на элементы действует поперечная нагрузка и продольная сила (сжимающая) действует на элемент с эксцентриситетом. Мало того, эксцентриситет в элементе может быть различным, т.е. (l₁+l₂)/2

На сжатие с изгибом так же работает верхний пояс арок.

На внецентренное сжатие или сжатие с изгибом работают так же стойки с колоннами. Изгибающий момент может создаваться: а) внецентренно приложенной сжимающей силой, тогда элемент называют внецентренно сжатым; б) поперечной нагрузкой.

При расчёте сжато изгибаемых деревянных стержней применяют теорию краевых напряжений, предложенную К.С. Завриевым. В соответствии с этой теорией несущая способность стержня считается исчерпанной в тот момент, когда краевое напряжение сжатия делается равным расчётному сопротивлению сжатию. Эта теория принята в действующих нормах проектирования. Эта теория приближённая, мене точная, чем теория устойчивости, однако, даёт более простое решение, весьма удобна для проектировщиков.

Рассмотрим стержень нагруженный продольной нагрузкой N и поперечной нагрузкой Q. При расчёте таких элементов не в коем случае нельзя использовать принцип независимости действия сил.

N/F+M/W , т.е. когда суммируют напряжения (нормальные) от действия продольных сил и напряжение от действия изгибающего момента. Потому что наличие одной нагрузки (напряжения) изменяет характер напряжений от действия другой нагрузки. В сечении сжато изгибаемого элемента действуют продольные сжимающие силы N, от этих сил возникают равномерные напряжения сжатия и изгибающий момент М, от которого появляются сжимающие и растягивающие напряжения, которые максимальны в крайних волокнах и равны нулю на нейтральной оси.

Напряжения сжатия, возникающие в сечении древесного элемента, складываются на напряжение сжатия и растяжения – вычитаются. Максимальное сжимающее напряжение возникает в крайних волокнах сечения в месте действия максимального изгибающего момента. Разрушение сжато изгибаемого элемента начинается с потери устойчивости сжатых волокон, что обнаруживается появлением складок и повышенными прогибами. ∞Такое разрушение частично пластично, т.к. жёсткость стержня не является ∞, то он под влиянием изгибающего момента прогибается. При этом центрально приложенная сжимающая сила, теперь уже будет иметь эксцентриситет = деформации стержня от момента. И, таким образом, создаёт дополнительный сжимающий момент. Появление дополнительного момента от нормальной силы увеличивает деформацию стержня, что приводит к ещё большему возрастанию момента. Такое наращивание дополнительного момента и прогибов будет продолжаться некоторое время и затем затухнет. В основу метода Завриева положено:

1.Независимо от характера распределения нагрузки, стержень всегда изгибается по закону синусоиды. В действительности это возможно, если нагрузка распределяется по синусоиде.

2.Стержень работает упруго.

3.Напряжения (опасные) достигают предела прочности при сжатии.

Вообще, полный прогиб стержня и уравнение кривой неизвестны, поэтому непосредственно формулой краевых напряжений пользоваться нельзя.

(1),

Полный изгибающий момент стержня равен (2),

В обоих уравнениях есть 3 неизвестных: δ_с, у, М_Х.

Всякую кривую аналитически можно выразить в виде ряда который при этом должен быть быстросходящимся и удовлетворять краевым значениям. Таким является тригонометрический ряд:

При симметричной загрузке первый член ряда даёт точность 95-97%. Для упрощения решений считают нагрузку симметричной. Тогда можно ограничится первым частным ряда

С появлением этого уравнения мы получаем 4 недостающее неизвестное f₁. Из курса строительной механики видно, что вторая производная уравнения кривой деформирования равная

После дифференцирования получим: , следовательно .

Если из этого уравнения выделить М_Х и подставить в уравнение М_Х=М_q+М_y, то после преобразований, имея в виду что и и Y_max=f, то получим следующее выражение:

Найденная зависимость позволяет решать вопрос об определении напряжения. Для этого значение f₁ подставим в выражение:

После преобразования получим: , где

- коэффициент, учитывающий дополнительный изгибающий момент от продольной силы при деформации стержня. Применим при значении от «0» до «1».

N_кр=φ×R_С×F_бр.

Окончательно выражение можно записать в виде: , где ; , т.к. 0< <1.

Если =0, то N=φ×F×R=0?

Если =1, то N=0 – продольной силы нет

Если ≤0, то (невозможно)

В связи с тем, что значение коэффициента пропорционального изгиба при вычисление значения всегда определяется по следующей формуле: φ=3000/λ², то при малых изгибающих напряжениях , , то работа стержня близка к условиям продольного изгиба и формула даст неправильный результат. В этом случае стержень надо рассчитывать на продольный изгиб без учёта изгибающего момента. При определении прогиба сжато изгибаемого элемента надо учитывать влияние дополнительного момента от продольной силы f=f₀/ ,

Общая формула

Далее по действующему СНиПу рекомендуется следующее уточнение. При несимметричном нагружении, нагрузку раскладывают на симметричную и кососимметричную.

Далее СНиП рекомендует домножать коэффициент влияния продольной силы на изгибающий момент: k_Н –поправочный коэффициент, зависящий от формы эпюры изгибающего момента.

k_Н =α_н+ (1-α_н), где α_н =0,81 –при прямоугольной эпюре, α_н =1,22 - при треугольной эпюре.

Этот поправочный коэффициент даёт уточнение в 5%. Также при необходимости сжато изгибаемые элементы необходимо проверять на прочность по скалывающим напряжениям: τ≤R_ск;

Сжато изгибаемый элемент должен быть так же проверен на устойчивость плоской формы деформирования. , где φ_у-коэффициент продольного изгиба с учётом работы стержня из плоскости, φ_у =3000/λ²- для гибкости участка элемента расчётной длины l_p из плоскости деформирования, φ_М-коэффициент продольного изгиба от действия изгибающего момента, F_БР - площадь брутто, с максимальными размерами сечения элемента на участке l_p, W_БР – максимальный момент сопротивления (брутто) на участке l_p, n – коэффициент, зависящий от закрепления растянутой зоны из плоскости деформирования n=2 – без закрепления растянутой зоны из плоскости, n= 1 – для элементов имеющих такие закрепления.