24. Несобственные интегралы 1-го рада.

Несобственные интегралы 1 рода.

Введем определения для несобственных интегралов 1 рода.

Определение 1.

Если предел конечен, то несобственный интеграл 1 рода называется сходящимся;

Если предел бесконечен или не существует вовсе, то несобственный интеграл 1 рода называется расходящимся.

Свойства несобственных интегралов.

А) Признак сравнения несобственных интегралов 1 рода. Если 0 меньше (или равен) f(x) меньше (или равна) g(x) на промежутке [0;+ бесконечности], то:

Из сходимости следует сходимость .

Из расходимости следует расходимость .

Теорема очевидна из геометрического смысла.

Б) Признак абсолютной сходимости несобственного интеграла 1 рода.

Если несобственный интеграл 1 рода сходится, то тоже сходится.

Следует из первого свойства.

25. Эталонный интеграл 1-го рода.

26. Несобственные интегралы 2-го рада.

Несобственные интегралы 2 рода.

Определение 1.

Интеграл вида: , где y=f(x) непрерывна (a;b], a - точка разрыва 2 рода. Называется несобственным интегралом 2 рода.

Если предел конечен, то несобственный интеграл 2 рода называется сходящимся.

Определение 2.

Если предел равен бесконечности или не существует вовсе, то несобственный интеграл 2 рода называется расходящимся.

Пусть функция y=f(x) имеет разрыв 2 рода в точке C, принадлежащей (a;b). В остальных точках промежутка непрерывна.

Определение 3.

Если оба несобственных интеграла 2 рода справа сходятся, то несобственный интеграл слева называется сходящимся.

Если хотя бы один из интегралов справа расходится, то несобственный интеграл слева называется расходящимся.

Свойства несобственных интегралов 2 рода те же, что и для несобственных интегралов 1 рода.

27. Эталонный интеграл 2-го рода.

Пример 2. Рассмотрим интеграл

Если , то подынтегральная функция стремится к при , так что получается несобственный интеграл второго рода.

Рассмотрим такие случаи:

1) . Тогда интеграл вычисляется так:

поскольку при имеем и

2) . Тогда то есть интеграл расходится, поскольку при .

3) . Тогда и интеграл снова расходится, поскольку при , если показатель .

28. Сравнение несобственных интегралов. Признак сходимости Абеля:

1. пусть функции f(x) и g(x) определены в промежутке , причём f(x) интегрируема в этом промежутке, т.е. интеграл сходится (условно или абсолютно);

2. g(x) монотонна и ограничена: .

Тогда интеграл сходится.

Признак сходимости Дирихле:

1. пусть функция f(x) интегрируема в любом конечном промежутке [a, b], и интеграл по этому промежутку ограничен (как функция верхнего предела b): ;

2. g(x) монотонно стремится к нулю при : .

Тогда интеграл сходится.

29. Понятие функции нескольких переменных. Область определения. Графики. Примеры.

Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (х;у). Соответствие f, которое каждой паре чисел (x;y)ÎD сопоставляет одно и только одно число uÎR, называется функцией двух переменных, определенной на множестве D со значениями в R, и записывается в виде u=f(x;y) или f:D→R. При этом х и у называются независимыми переменными (аргументами), а u - зависимой переменной (функцией).

Множество D=D(f) называется областью определения функции. Множество значений, принимаемых u в области определения, называется областью изменения этой функции, обозначается E(f) или Е.

Примером функции двух переменных может служить площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых равны х и у: S = ху. Областью определения этой функции является множество .

Функцию u=f(x;y), где (x;y)ÎD можно рассматривать как функцию точки М(х;у) координатной плоскости Оху. В частности, областью определения может быть вся плоскость или ее часть, ограниченная некоторыми линиями. Линию, ограничивающую область, называют границей области. Точки области, не лежащие на границе, называются внутренними. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой. Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой, обозначается . Примером замкнутой области является круг с окружностью.

Значение функции u=f(x;y) в точке обозначают или и называют частным значением функции. Функция двух независимых переменных допускает геометрическое истолкование. Каждой точке области D в системе координат соответствует точка M(x₀;y₀;z₀), где z₀ = f(x₀;y₀) - аппликата точки М. Совокупность всех таких точек представляет собой некоторую поверхность, которая и будет геометрически изображать данную функцию u=f(x;y). Например, функция имеет областью определения круг х² + у² ≤ 1 и изображается верхней полусферой с центром в точке и радиусом R = 1

Функция двух переменных, как и функция одной переменной, может быть задана разными способами: таблицей, аналитически, графиком. Будем пользоваться, как правило, аналитическим способом: когда функция задается с помощью формулы.