16. Основные свойства определенного интеграла.
1)
Постоянный множитель можно выносить
за знак интеграла. Итак если A
- cоnst, то
2)
Определенный интеграл от алгебраической
суммы нескольких функций равен
алгебраической сумме определенных
интегралов от слагаемых.
Доказательство:
тоже самое, исходя из положения, что предел суммы равен сумме приделов .
3)
Если на отрезке [a,b],
где a<b и функции f(x)
и g(x)
удовлетворяют
условию
,
то
.
Рис. 2. 43.
Доказательство:
Пусть a<b, и m,M - есть наименьшееи наибольшее значение функции на рассматриваемом интервале. Тогда нам известно
;
;
;
а
также ранее мы записывали, что
или
,
или
,
или
обозначив
,
имеем
.
Но
т.к. f(x)
непрерывна на [a,b],
следовательно, для
находящимся
внутри рассматриваемого отрезка, можно
найти
которое
и,
следовательно,
.
5)
Для любых чисел a, b, c справедливо равенство
.
Это почти очевидно. Суммарная площадь
равна сумме двух этих площадей.
Рис. 2. 44.
17. Теорема о среднем значении.
У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Коши.
Теорема Коши́ о среднем значении.
-
Пусть даны две функции
и
такие,
что:и определены и непрерывны на отрезке
;производные
и
конечны
на интервале
;производные и не обращаются в нуль одновременно на интервале
;
тогда
,
где
Геометрически это можно переформулировать так: если f и g задают законы движения на плоскости (то есть определяют абсциссу и ординату через параметр t), то на любом отрезке такой кривой, заданном параметрами a и b, найдётся касательный вектор, коллинеарный вектору перемещения от (f(a);g(a)) до (f(b);g(b)).
[Править] Доказательство
Для доказательства введём функцию
Для
неё выполнены условия теоремы
Ролля:
на концах отрезка её значения равны
f(a).
Воспользовавшись упомянутой теоремой,
получим, что существует точка c,
в которой производная функции F
равна нулю, а
равна
как раз необходимому числу.
18. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Пусть
и
две
любые дифференцированные на [а,b]
функции.
Тогда
.
Интегрируя обе части тождества в пределах от а до b, получим:
.
Так
как
,
то
,
поэтому равенство можно переписать в
виде
|
=
в
силу того, что
-
это дифференциал функция u(x)
и аналогично
.
Тогда окончательно
.
(2-146)
Пример.
19. Приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур.
а)
Пусть
функция
и непрерывна. Тогда площадь криволинейной
трапеции
.
б)
Найдем
площадь фигуры, ограниченной прямыми
графиками функций
и
для
.
Тогда
.
в)
Пусть
кривая задана параметрически:
.
В данном случае мы не знаем явного
задания кривой, поэтому, чтобы свести
к известным нам функциям
и
,
сделаем следующую замену:
,
т.к.
,
то получим, что
(1)
20. Приложения определенного интеграла. Вычисление объемов тел вращения.
Объем тела вращения.
Пусть
непрерывная функция. Вращением кривой
вокруг оси
получим некоторое тело.
будут представлять собой круги
,
поэтому площадь сечения вычисляется
как площадь круга, т.е.
.
При выполнении предположений 1, 2 из
пункта а)
для
объема тела вращения получим формулу
.
21. Приложения определенного интеграла. Вычисление длины дуги плоской кривой.
Пусть в прямоугольных координатах на плоскости дана кривая y=f(x).
Найдем длину дуги АВ, заключенную, между вертикальными прямыми x=a и x=b. Длиной дуги АВ(s) называется тот предел, к которому стремится длина вписанной ломанной, когда длина ее наибольшего звена стремится к нулю.
Рис. 2. 52.
.
Введем
обозначение 
, тогда
,
или перехода к пределу и суммируя длины, получаем
.
(2-147)
Это и есть формула, для расчета длины дуги.