Теорема
Пусть
функции
дифференцируемы на
и
,
тогда (3)
.
Пример:
1)
7. Интегрирование рациональных дробей.
Рассмотрим
рациональную дробь вида
.
Простейшие
рациональные дроби
делятся на 4 вида:
1.
2.
3.
4.
Рассмотрим правила интегрирования каждого типа этих дробей.
1.
2.
3.
8. Разложение дроби на простейшие.
Покажем, что всякую правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей.
Пусть
дана правильная рациональная дробь
.
Причём последовательное применение данной теоремы ко второму слагаемому данной теоремы приводит:
(2-134)
Где
многочлен, степень которого ниже степени
знаменателя. И аналогично формуле
(2-134) можно получить:
.
9. Интегралы от тригонометрических функций.
Кроме алгебраических функций в подынтегральное выражение могут входить и тригонометрические функции.
.
Покажем, что этот интеграл может быть вычислен с помощью, так называемой, тригонометрической подстановки
.
(2-139)
Выразим
sin x
и cos
x
через
а,
следовательно, и через t
.
Точно также и cosx
.
Если
мы берем подстановку
Тогда
x=2arctg t, dx =
.
Таким образом, sin x, cos x, dx могут быть выражены через t т.е. получаем
.
10. Интегрирование иррациональных функций.
не от всякой иррациональной функции интеграл выражается в элементарных функциях. Рассмотрим как раз те примеры, которые это допускают.
1)
Рассмотрим интеграл
.
Пусть
k - общий знаменатель дробей 
Сделаем подстановку:
,
.
(2-137)
Тогда каждая дробная степень x выражается через целую степень t и, следовательно, подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от t.
11. Тригонометрические подстановки для иррациональных функций.
данной
секции мы рассмотрим вычисление
интегралов вида
,
где R
- рациональная функция x
и квадратного корня
.
Предварительно преобразуем
квадратичную функцию под знаком корня,
выделив в ней полный квадрат:
Выполнив
замену
,
мы получим один из следующих 3 интегралов
в зависимости от значений коэффициэнтов
a,
b
и с:
Каждый из этих трех интегралов вычисляется с помощью специальных тригонометрических или гиперболических подстановок.
1. Интегралы вида
Тригонометрическая подстановка:
2. Интегралы вида
Тригонометрическая подстановка:
Гиперболическая подстановка:
3. Интегралы вида
Тригонометрическая подстановка:
Гиперболическая подстановка:
12. Интегрирование дифференциального бинома.
Выражение
вида,
где m, n, p, a, b
- постоянные числа, называемые
дифференциальным
биномом.
Интеграл 
может
быть выражен через элементарные функции
в следующих случаях:
1) p - есть целое число,
2) 
-
целое число,
3) 
-
целое число,
Доказательство:
преобразуем данный интеграл с помощью подстановки
,
dx =
,
(2-138)
тогда
=
где
.
Пусть
p
целое число. Тогда g
- есть рациональное число и его можно
обозначить через
.
И тогда интеграл примет вид
.
Этот интеграл берется подстановкой
.
.
Пусть
целое
число. Тогда
тоже
целое число и интеграл решается
подстановкой
где u
есть знаменатель рационального числа
,
.
.
Пусть
целое
число, тогда
тоже
есть целое число.
Тогда
его
берут с помощью подстановки
где
e
-есть знаменатель числа
.