45. Арифметические операции над комплексными числами.

рифметические операции над комплексными числами были определены в предыдущем пункте. Эти операции обладают следующими свойствами:

1. Коммутативность сложения: z ₁  +  z ₂  =  z ₂  +  z ₁ для любых     .

2. Ассоциативность сложения: ( z ₁  +  z ₂ ) +  z ₃  =  z ₁  + ( z ₂  +  z ₃ ) для любых .

3. Существует такое число z = 0, которое обладает свойством z  + 0 =  z для любого z     .

4. Для любых двух чисел z ₁ и z ₂ существует такое число z , что z ₁  +  z  =  z ₂. Такое число z называется разностью двух комплексных чисел и обозначается z  =  z ₂  –  z ₁.

5. Коммутативность умножения: z ₁ z ₂  =  z ₂ z ₁ для любых     .

6. Ассоциативность умножения: ( z ₁ z ₂ ) z ₃  =  z ₁ ( z ₂ z ₃ ) для любых     .

7. Дистрибутивность сложения относительно умножения: z ₁ ( z ₂  +  z ₃ ) =  z ₁ z ₂  +  z ₁ z ₃ для любых     .

8. Для любого комплексного числа z : z  · 1 =  z .

9. Для любых двух чисел и существует такое число z , что Такое число z называется частным двух комплексных чисел и обозначается Деление на 0 невозможно.

46. Комплексная плоскость. Функция комплексного переменного.

Комплексной плоскостью в математике называется множество упорядоченных пар (x,y), где . Обычно производится отождествление комплексной плоскости и поля комплексных чисел по принципу . Это позволяет ввести на плоскости алгебраические операции. Рассмотрим топологические свойства комплексной плоскости, и не будем проводить различий между парой z = (x,y) и комплексным числом z = x + iy.

то понятие — обобщение предыдущего варианта:

.

Такими функциями занимается отдельная область математического анализа — теория функций комплексного переменного или комплексный анализ.

Функция также может быть представлена в виде

,

однако имеется более глубокая связь между u и v. Например, для того, чтобы функция f(z) была дифференцируема, должны выполняться условия Коши — Римана:

;

.

Комплекснозначная функция — функция действительного переменного, имеющая комплексные значения:

.

Такая функция может быть представлена в виде

f(x) = u(x) + iv(x),

где i — это мнимая единица, т. е. , а и  — действительные функции. Функция называется действительной частью функции , а  — её мнимой частью.

[править] Свойства

• Функция

f ^* (x) = u(x) − iv(x)

называется комплексно сопряжённой функции .

• Произведение функции на её комплексно сопряжённую является квадратом модуля функции. Квадрат модуля функции всегда положителен и обозначается символом

| f(x) | ² = f(x)f ^* (x) = u(x)² + v(x)²

47. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Пусть . Положим , . Из рисунка 17.4 очевидно, что

Тогда . Это выражение запишем в виде

Последняя запись называется тригонометрической формой комплексного числа. В отличие от нее запись числа в виде называют иногда алгебраической формой комплексного числа.

Отметим, что тригонометрическая форма -- это указание числа по двум его характеристикам: модулю и аргументу. Поэтому вместо формулы (17.8) можно было бы просто записывать пару , но запись принята в силу традиции.

        Замечание 17.3   При записи числа в тригонометрической форме НЕЛЬЗЯ вычислять значения и , иначе мы потеряем явное указание аргумента и снова вернемся к алгебраической форме. Кроме того, если угол получился отрицательным, то знак " " НЕЛЬЗЯ выносить за знак синуса и НЕЛЬЗЯ убирать его под знаком косинуса.