40. Свойства двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному.

Свойства двойного интеграла. Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определенного интеграла:

Линейность:   . Аддитивность: , если S1 и S2 две области без общих внутренних точек.

Если для каждой точки  выполнено неравенство  , то .

Если  интегрируема на , то функция   также интегрируема, причем .

Если  и  наименьшее и наибольшее значения функции в области, а ее  площадь, то .

Теорема о среднем значении: если  непрерывна в связной области , то существует, по крайней мере, одна точка такая, что   .

Вычисление двойного интеграла.

Если  , где -   непрерывные на функции, то двойной интеграл может быть вычислен двумя последовательными интегрированиями: . Аналогично, если , то     .

41. Вычисление двойного интеграла (прямоугольная и произвольная области).

Вычисление двойного интеграла.

Если  , где -   непрерывные на функции, то двойной интеграл может быть вычислен двумя последовательными интегрированиями: . Аналогично, если , то     .

42. Замена переменной в двойном интеграле. Переход к полярным координатам.

Замена переменных в двойном интеграле. Пусть функции взаимно однозначно отображают открытое множество, содержащее область плоскости на открытое множество, содержащее область , и пусть является образом . Если и их частные производные непрерывны, а определитель   , то . Выражение  называется элементом площади в криволинейных координатах, функциональный определитель - якобианом. Двойной интеграл в полярных координатах. Введем на плоскости полярные координаты. Пусть - область, полученная взаимно однозначным отображением области плоскости , определяемым функциями . Тогда , а двойной интеграл в полярных координатах вычисляется по формуле: .Элемент площади в полярных координатах есть .

43. Приложения двойного интеграла. Объем тела. Площадь плоской фигуры. Приложения двойных интегралов

Наименование величины	Общее выражение	Прямоугольные координаты	Полярные координаты
Площадь плоской фигуры
Площадь куска поверхности1)
Объем цилиндрического тела, стоящего на плоскости XOY

44. Понятие комплексного числа.

Комплексным числом называется выражение вида a  +  ib , где a  и  b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей . Для таких выражений понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом:

1. Два комплексных числа a  +  ib и c  +  id называются равными тогда и только тогда, когда a  =  b и c  =  d .

2. Суммой двух комплексных чисел a  +  ib и c  +  id называется комплексное число a  +  c  +  i ( b  +  d ).

3. Произведением двух комплексных чисел a  +  ib и c  +  id называется комплексное число ac  –  bd  +  i ( ad  +  bc ).

Комплексные числа часто обозначают одной буквой, например, z  =  a  +  ib . Действительное число a называется действительной частью комплексного числа   z , действительная часть обозначается a = Re z . Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа   z , мнимая часть обозначается b = Im z . Такие названия выбраны в связи со следующими особыми свойствами комплексных чисел.

Заметим, что арифметические операции над комплексными числами вида z  =  a  +  i  · 0 осуществляются точно так же, как и над действительными числами. Действительно, Следовательно, комплексные числа вида a  +  i  · 0 естественно отождествляются с действительными числами. Из-за этого комплексные числа такого вида и называют просто действительными. Итак, множество действительных чисел содержится в множестве комплексных чисел. Множество комплексных чисел обозначается . Мы установили, что , а именно

В отличие от действительных чисел, числа вида 0 +  ib называются чисто мнимыми . Часто просто пишут bi , например, 0 +  i 3 = 3 i . Чисто мнимое число i 1 = 1 i  =  i обладает удивительным свойством: Таким образом,

С учётом этого замечательного соотношения легко получаются формулы сложения и умножения для комплексных чисел. Нет нужды запоминать сложную формулу для произведения комплексных чисел – если на комплексные числа смотреть как на многочлены с учётом равенства то и перемножать эти числа можно как многочлены. В самом деле, то есть как раз получается нужная формула.