Дифференцирование изображения.

Если f(t) - функция-оригинал, и f (t) F(p), то − t f (t) F ′(p).         Док-во. . Дифференцируя это соотношение по параметру р, получаем .         Иллюстрации этого свойства. С его помощью просто получаются изображения степенных функций: , или ; , или , , или ; , или , и вообще .         Другие иллюстрации: , …, .          и т.д.

5. Свертка двух функций. Теорема свертывания двух оригиналов Свёртка функций и её свойства.

Определение. Сверткой функций f₁(t) и f₂(t) называется функция .         Свёртка обозначается символом f₁ * f₂: . Если f₁(t) и f₂(t) - функции-оригиналы, то их свёртка - тоже функция-оригинал, показатель роста которой превышает наибольший из показателей роста функций f₁(t) и f₂(t) не больше, чем на 1. Действительно, пусть , , , тогда , так как t < e ^t.         Свёртка функций коммутативна: f (t) * g (t) = g (t) * f (t), в этом легко убедиться, заменив в интеграле переменную τ на τ₁ = t −τ.         Можно показать, что свёртка обладает свойством ассоциативности, т.е. что ( f₁ * f₂ ) * f₃ = f₁ * ( f₂ * f₃ ).

Таблица стандартных изображений.

Сведём в таблицу полученные ранее изображения элементарных функций.

Оригинал	Изображение		Оригинал	Изображение		Оригинал	Изображение

7. Теорема Интегрирование оригинала.

Если f(t) - функция-оригинал, и f (t) F(p), то - тоже функция-оригинал, и . Док-во. (это повторный интеграл, вычисляемый по области {0 ≤ t < +∞, 0 ≤ τ ≤ t}; меняем порядок интегрирования, это можно сделать, так как несобственный двойной интеграл сходится абсолютно) .