4. Задачи теории игр.

51-59. Для следующих платежных матриц определить нижнюю и верхнюю цены игры двух участников, минимаксные стратегии и наличие седловых точек. В последнем случае определить оптимальное решение игры.

60. Для игры, задаваемой матрицей . Определить цену игры и найти оптимальные стратегии.

61. Игра заключается в том, что игрок А записывает числа 1(стратегия ), или 2( ), или 3( ). Игрок В, в свою очередь, может записать числа 1( ) , 2( ), 3( ), или 4( ). Если оба числа окажутся равной четности, то А выигрывает сумму этих чисел, если – разной четности, то В выигрывает сумму этих чисел. Составить платежную матрицу, определить верхнюю и нижнюю цену игры и минимаксные стратегии.

62. Первый второй игроки одновременно и независимо друг от друга показывают один, два или три пальца. Выигрыш или проигрыш (в денежных единицах) равен общему количеству показанных пальцев. Если это количество четное, то выигрывает первый игрок, а второй ему платит. Если же оно нечетное, то выигрываем второй игрок, а первый ему платит. Требуется построить платежную матрицу.

63. Система противовоздушной обороны (ПВО) обороняет от воздушного налета участок территории, располагая двумя зенитно–ракетными комплексами (ЗРК), зоны действия которых не перекрываются. Каждый ЗРК с единичной вероятностью поражает самолет противника в зоне своего действия, если его система наведения начинает отслеживать цель и вырабатывать данные для стрельбы еще за пределами зоны. Противник располагает двумя самолетами, каждый из которых может быть направлен в зону действия любого ЗРК.

В момент, когда система ПВО решает задачу целераспределения, т.е. решает, какому ЗРК по какой цели стрелять, самолеты противника могут применить обманный маневр и изменить маршрут. Цель системы ПВО – поразить как можно больше самолетов противника, а цель противника – потерять как можно меньше самолетов. а) Постройте платежную матрицу игры; б) установите имеются ли седловые точки; в) найдите оптимальное решение.

64. Два человека оказались в горящем доме. Они могут покинуть дом и спастись лишь через входную дверь, которую заклинило так сильно, что открыть ее можно только совместными усилиями. Построить платежную матрицу игры. Имеет ли игра седловую точку?

65. Имеются два игрока: игрок А прячется, а игрок В его ищет. Игрок А по своему усмотрению может спрятаться в любом из убежищ с номерами 1 и 2 соответственно. Если игрок В найдет игрока А в том убежище, где тот спрятался, то игрок А платит игроку В штраф в две денежные единицы. Если игрок В будет искать игрока А не в том убежище, где тот спрятался, то игрок В платит игроку А такой же штраф. Для этой игры: а) постройте платежную матрицу игры; б) установите имеются ли седловые точки; в) найдите оптимальное решение.

66. Доказать, что цена игры удовлетворяет соотношениям .

67. Рассчитать величину платежа для игр, заданных матрицами задач 51 и 52 при и .

68. Доказать, что решение игры не измениться, если ко всем элементам платежной матрицы прибавить некоторое постоянное число. Как при этом измениться цена игры?

69. Найти решение игры с матрицей и дать геометрическую интерпретацию этому решению.

70 -72. Найдите седловую точку и чистую цену в игре двух участников, в которой платежная матрица второго игрока имеет вид:

73-78. Исследовать игры, заданные следующими матрицами. Проверить возможные упрощения платежной матрицы.

79. Решить с помощью построения двойственной пары задач игры, платежные матрицы которых приведены в заданиях задач 51-56.

80. Решить игру, определенной платежной матрицей задачи 62, предварительно упростив ее.

81-89. Решить и привести графическую иллюстрацию игр, заданных следующими матрицами.

90. Найти решение и цену игры с матрицей.

91-99. Найти решение следующих игр.

100. Найти решение и цену игры, заданной матрицей.

101. Решить методом линейного программирования.

102. Построить игру, эквивалентную двойственной паре задач, одна из которых имеет следующий вид:

при условиях

103-105. Построить платежные матрицы игр, эквивалентных следующим задачам линейного программирования (приведена одна из пары двойственных задач).

106. Предприятие может выпустить три вида продукции (А, Б и В), получая при этом прибыль, зависящую от спроса. Спрос в свою очередь может принимать одно из четырех состояний (I, II, III и VI). В следующей матрице элементы характеризуют прибыль, которую получит предприятие при выпуске i-й продукции и j-м состоянии спроса.

Определить оптимальные пропорции в выпускаемой продукции, считая состояние спроса полностью неопределенным, гарантируя при этом среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса.

107. Предприятие выпускает скоропортящуюся продукцию, которую оно может сразу отправить потребителю (стратегия А), отправить на склад (стратегия Б), или подвергнуть дополнительной обработке (стратегия В) для длительного хранения.

В свою очередь потребитель может немедленно приобрести эту продукцию (стратегия I), приобрести ее в течение небольшого отрезка времени (II) или затребовать ее после длительного периода времени (III).

Если предприятие выберет стратегию А, то дополнительные затраты на хранение и обработку продукции не потребуются. Однако, если при этом потребитель примет стратегию II или тем более III, то предприятие потерпит убытки из-за порчи части продукции. Наоборот, если предприятие выберет стратегию В, а потребитель – стратегию I, то возникнут неоправданные расходы на консервацию продукции. Определить оптимальное соотношение между продукцией, отправленной потребителю на склад и на дополнительную обработку, руководствуясь «минимаксным критерием» (гарантированный средний уровень убытка), при следующей матрицы затрат:

108. Для игры 2 × 2, не имеющей седловой точки, может быть предложен следующий упрощенный прием определения оптимальной смешанной стратегии.

Вычтем из элементов 1-го столбца элементы 2-го столбца. Получим столбец , элементы которого по абсолютной величине пропорциональны вероятностям и оптимальной стратегии первого игрока. Аналогично определяется смешанная стратегия для второго игрока. Доказать справедливость этого правила.

109. Аналогично предыдущей задаче можно указать простое правило для игры 2 × m , также не имеющей седловой точки. Сущность его состоит в том, что выбираются произвольные две стратегии для второго игрока (имеющего m стратегий) и решается игра 2 × 2. Полученное решение для первого игрока оценивается против любой из оставшихся стратегий второго игрока. Если полученный «выигрыш» не меньше найденной цены игры 2 × 2 , то это и будет решением первой начальной игры. Если же будет получен меньший «выигрыш», то испытывается таким образом другая игра 2 × 2.

110-113. Пользуясь указанным в задаче 109 правилом, решить игры.

114-117. Рассмотрим игру 3×3 с тремя активными стратегиями для каждого из игроков (т.е. все и ). Если при этом игра не имеет седловой точки и доминирующих стратегий (последние вытекает из условий и ), то может быть указано упрощенное правило решения игры, аналогичное указанному в задаче 108. Вычитаем почленно 3-ю строку из 1-й и 2-й. В образовавшейся матрице вероятности стратегий для второго игрока пропорциональны абсолютным величинам миноров 3-й строки. Аналогично находится стратегия для первого игрока. Доказать это правило и решить с его помощью следующие задачи:

118. Доказать следующие два взаимно обратные утверждения:

1) если игра имеет седловую точку, то найдется элемент платежной матрицы, который будет наибольшим в столбце и наименьшим в строке, т.е. выполняется неравенство при всех i = 1, …,р и k = 1, ..., q;

2) если найдется элемент , удовлетворяющий указанным выше неравенствам, то игра имеет седловую точку.