2. Энергетические характеристики сигналов. Ортогональные сигналы.

Основные характеристики вещественного сигнала :

1. Мгновенная мощность .

2. Энергия сигнала Э.

3. Средняя мощность на интервале .

1. , - мгновенное значение сигнала. Если - u или i, то - мгновенная мощность, выделяемая на сопротивлении в 1 Ом.

Для упрощения расчетов R=1 Oм.

Мгновенная мощность не аддитивна: мгновенная мощность суммы сигналов не равна сумме мгновенных мощностей отдельных сигналов.

2. Энергия Э на интервале времени .

Э =

3. Средняя мощность на интервале

Если сигнал S(t) задан на бесконечном интервале времени , то средняя мощность находится как предел

,

Энергия и мощность сигналов могут быть аддитивны, если сигналы ортогональны (на некотором интервале времени).

- взаимная энергия I и II сигналов.

Условия, когда энергия и мощность аддитивны (условия ортогональности двух сигналов)

Ортогональные сигналы можно отделить друг от друга, неортогональные – нельзя.

Э = Э₁+Э₂ ортогональные

Р = Р₁+Р₂ сигналы

3. Корреляционные характеристики детерминированных сигналов.

Автокорреляционная характеристика (АКФ) позволяет судить о степени связи между самим сигналом и сдвинутой во времени его копией.

Если сигнал вещественный, определен на интервале и имеет ограниченную энергию, то корреляционная функция вычисляется по энергии

- корреляционная функция

Э – по энергии

временной сдвиг самого сигнала и его копии.

Для каждого конкретного значения получается число.

1. АКФ – четная функция временного сдвига

При сходство между сигналом и его копией наиболее сильно.

, следовательно, получается максимум.

Этот максимум равен энергии.

С увеличением степень связи уменьшается. Это уменьшение может быть немонотонно.

Когда сигнал обладает большой энергией, но имеют ограниченную мощность, АКФ вычисляется по мощности.

функция четная.

При максимум равен P.

2. Для периодического сигнала АКФ периодична с тем же периодом.

- временной сдвиг.

АКФ самого сигнала периодична с тем же периодом.

3. Взаимная корреляционная функция (ВКФ) позволяет определить степень подобия двух подобных сигналов.

Пример (степень впечатления)

- ВКФ (не является четной)

Она позволяет сменить степень сдвига

- ВКФ нечетная.

Если у ВКФ есть максимум, то он необязательно будет при нуле.

При (нулевом сдвиге)

ВКФ в этом случае равна взаимной энергии.

АКФ является частным случаем ВКФ.

Когда мы хотим наилучшим образом принимать сигналы (информацию), речь идет об оптимальном приемнике (он вычисляет ВКФ между принятым сигналом и тем, который мы ожидаем, максимум – превышение над шумами).

4. Разложение сигналов в ряды Фурье. Спектр периодического сигнала.

Задача: Представить сигнал , обладающий конечной мощностью, в виде суммы (n+1) некоторых сигналов (задача аппроксимации - метод, состоящий в замене одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов) будем считать их попарно ортогональными на интервале

1. - средняя мощность

Произвольный сигнал конечной мощности , заданный на интервале можно аппроксимировать линейной комбинацией этих (n+1) функций.

(2)

- система попарно ортогональных эталонных функций – базисная система (базис).

Если в условии (1) , то говорят, что функция называется нормированной, а - ортонормированной базисной системой.

Коэффициент - определяет вес каждого базисного сигнала. Точность аппроксимации условимся определять по квадрату разности сигнала и копии, т.е. ошибка будет:

Коэффициент определяется из минимума средней мощности ошибки.

- среднеквадратичная ошибка.

Учитывая, что все P>0, >0, то можно заметить, что

(2)

2. – неравенство Бесселя.

Мощность копии всегда мощнее мощности оригинала.

Чем больше n, тем ближе сумма (2) будет приближаться к оригиналу, т.е., чем больше слагаемых, тем меньше среднеквадратическая ошибка. Этот факт является признаком полного базиса.

Если число слагаемых стремиться к бесконечности, то среднеквадратическая ошибка стремиться к нулю, т.е.

- равенство Парсеваля.

В случае, когда мы хотим получить

- это ряд сходится к оригиналу.

В такой ряд можно разложить сигналы конечной мощности, если базисные функции попарно ортогональны. Коэффициент является функцией двух переменных , где t – непрерывная переменная, k – дискретная переменная.

- спектр сигнала.

- спектральная составляющая сигнала.

Сигнал представлен в виде суммы спектральных составляющих.

Два вида представления сигнала:

• спектральная форма

• временная

Обе они однозначно задают сигнал.

Совокупность коэффициентов ряда часто изображают в виде отрезка.

Коэффициенты должны уменьшаться, в общем, с расчетом номера k.

Т.е. в пределе .