2. Кольцо многочленов. Примитивные элементы.
Построение GF(q),
.
Конечные поля можно строить из колец
многочленов таким же образом, как были
построены поля из кольца целых чисел.
Пусть имеем кольцо многочленов
над полем P. Так же как были построены
классы вычетов для кольца Z, можно
построить и кольца классов вычетов для
кольца
.
Для этого достаточно выбрать в
произвольный многочлен
и определить классы вычетов, используя
многочлен
в качестве модуля при выполнении операций
сложения и умножения классов вычетов.
В результате будет построено фактор-кольцо
.
Это фактор-кольцо состоит из классов
вычетов по модулю
,
представителями которых в данном случае
выступают всяческие остатки от деления
многочленов
на p(x), то есть все многочлены из
,
степени которых не превышают
.
Для того чтобы фактор-кольцо
)
было полем по аналогии с требованиями
Теоремы 2 в этом случае многочлен
должен быть простым3)
(см. Л-15, ТГКП), то есть неприводимым. Для
неприводимого многочлена степени n
,
над полем P, то есть многочлена с
коэффициентами
,
мы приходим к полю, элементами которого
являются кортежи из n чисел
,
одним из вариантов представления которых
и является использование многочленов
степени n
1 с коэффициентами
элементами поля GF(p). Напомним
здесь, что в соответствии с теоремой 1,
Л-1, РПЭК (поле
,
образованное из поля
присоединением корня
неприводимого над полем
многочлена n-й степени
состоит из всех чисел вида
,
где
произвольные числа из поля
)
элементами поля фактически выступают
не сами многочлены, а числа, получающиеся
при подстановке в многочлены корня
неприводимого многочлена
(элементы поля выражаются через базисы,
построенные на основе использования
корня неприводимого над исходным полем
многочлена).
Полученное поле содержит все константы
где
(все элементы поля P), и потому является
р а с ш и р е н и е м поля P. Число
элементов (порядок) построенного
рассмотренным способом поля есть степень
некоторого натурального простого числа
p, которое является характеристикой
этого поля (множество элементов этого
поля есть декартовое произведение n
множеств из p элементов каждое). Мы
далее покажем, что для любого натурального
простого p и любого натурального n
существует (и единственно с точностью
до изоморфизма) поле из
элементов. Оно обозначается
,
или
и также
.
Поле
содержит как подполе поле GF(pm)
в том и только в том случае, когда m
делится на n. В частности, в любом
поле
содержится поле GF(p), которое
мы назвали ранее простым полем
характеристики p. Подробное обоснование
этих и ряда других положений мы выполним
отдельно.
Мы в дальнейшем сосредоточимся на рассмотрении, прежде всего, конечных полей. Ограничимся также рассмотрением только приведенных (нормированных) многочленов, так как это ограничение снимает ненужную неопределенность в рассуждениях.
Рассмотренный подход к построению расширения поля GF(p) зафиксируем в виде теоремы, которую мы докажем строго позднее.
Теорема 3. Если
неприводимый
над полем GF(p) многочлен степени
n, то множество всех многочленов от x
степеней
с коэффициентами из поля GF(p),
операции над которыми выполняются по
модулю многочлена
,
образует поле порядка
.
Напомним важные для дальнейшего определения примитивного элемента поля и примитивного многочлена, а также теоремы, связанные с этими понятиями.
Определение 2. Примитивным элементом поля GF(q) называется такой элемент , что все элементы поля, за исключением нуля, могут быть представлены в виде степени элемента .
Например, в поле GF(
)
примитивным элементом является многочлен
первой степени
.
Действительно, для неприводимого
многочлена
имеем:
;
;
;
;
;
;
;
.
Примитивные элементы очень полезны при построении полей, так как если один из них найден, то, перемножая степени примитивного элемента, можно построить таблицу умножения в поле.
Мы сейчас докажем, что каждое поле содержит хотя бы один примитивный элемент.
Поле образует абелевую группу двумя способами. Множество всех элементов поля образует абелевую группу по сложению, и множество всех элементов поля за исключением нуля, образует абелевую группу по умножению.
Сейчас нас будет интересовать группа по умножению. Как известно порядок этой группы делится на порядок любого ее элемента.
Теорема 4. Пусть
ненулевые
элементы поля GF(q); тогда
,
то есть ненулевые элементы поля GF(q)
являются корнями обобщенного многочлена
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Множество
ненулевых элементов поля GF(q)
образует конечную группу по умножению.
Пусть
любой ненулевой
элемент из GF(q), и пусть
порядок этого
элемента по умножению. Тогда соответственно
теореме Лагранжа
делит
.
Следовательно,
.
Таким образом,
является корнем многочлена
,
то есть
.
При выполнении последнего равенства
говорят, что
является корнем степени
из единицы, если это степень является
максимальной (и тогда
является примитивным элементом поля
GF(q)). Вообще говоря,
может оказаться и корнем более низкой
степени, если выполняется равенство
для степени s,
которая делит
(например, степени
).
Итак, для поля GF(q) справедливо разложение
,
где пробегает все элементы поля (разные элементы).
Для простого поля GF(p) это разложение имеет вид
.
Теорема 5. Группа ненулевых элементов поля GF(q) по умножению является циклической
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если число простое, утверждения тривиальное, так как в соответствии со следствием 2 теоремы Лагранжа, Л-5 (каждая конечная группа G, порядок которой оказывается простым числом, является циклической) порядок любого элемента группы, за исключением нуля и единицы, равняется , и, итак, каждый такой элемент примитивный. Доказательство надо выполнить только для случая, когда число составное.
Рассмотрим разложение числа на простые множители
.
Так как GF(q)
поле, то среди
ненулевых элементов должен обнаружиться
хотя бы одним, что не является корнем
многочлена
,
поскольку этот многочлен может иметь
не больше чем
корней. Итак, для каждого i можно
найти такой ненулевой элемент
поля GF(q), что
.
Пусть
и пусть
.
Докажем, что порядок элемента b
равняется
,
и, соответственно, группа является
циклической.
Шаг 1. Порядок элемента
равняется
.
Доказательство. Очевидно, что
,
так что порядок элемента
делит
.
Он равняется числу вида
.
Если
меньше
,
то
.
Но
,
и, следовательно, порядок элемента
равняется
.
Шаг 2. Порядок элемента
равняется
.
Доказательство. Предположим, что
.
Покажем сначала, что из этого следует
равенство
для всех
.
Действительно, для каждого i можно
записать
.
Заменим теперь
на
и используем равенство
.
В результате получим
.
Но же
для каждого i
и потому
.
Поскольку
являются разными простыми числами, то
для каждого i.
Итак,
.
Теорема доказана.
Следствие (Теорема Ферма). Каждый
элемент поля GF(q) удовлетворяет
равенству
,
или эквивалентно, является корнем
уравнения
.
Теорема 5 дает также важнейший ключ к пониманию структуры полей Галуа, а именно она позволяет утверждать такое.
Теорема 6. В каждом поле GF(q) имеется примитивный элемент..
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как ненулевые элементы поля GF(q) образуют циклическую группу, то среди них имеется элемент порядка . Этот элемент и является примитивным по определению.
Использование примитивного элемента для умножения в поле иллюстрируется следующими примерами:
Выше был рассмотрен пример построения
поля GF(8) =
.
Порядок циклической (мультипликативной)
группы равен этого поля равен простому
числу 7, и, следовательно, каждый элемент,
за исключением нуля и единицы, имеет
порядок, который равняется 7, а, значит,
является примитивным. С использованием
представления элементов поля, приведенным
выше, умножение выполняется совсем
легко; например, для примитивного
элемента
имеем
((
)x
).
Очевидно также, что
(1(
)
).
Порядок каждого элемента в поле GF(16)
=
делит 15. Элемент может иметь порядок 1,
3, 5 или 15. Поле GF(16) можно построить
с помощью многочлена
и примитивного элемента
;
имеем:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
При таком представлении поля умножения
снова оказывается простым; например,
.
При построении расширения поля в виде многочленов, удобно, чтобы многочлену x отвечал примитивный элемент поля. В этом случае в таблице умножения можно использовать x в качестве основания логарифмов, и это самое простое из возможных оснований. Такое построение можно осуществить с помощью примитивных многочленов специального частичного вида, которые определяются следующим образом.
Определения 3. Примитивным многочленом над полем GF(q) называется простой многочлен над полем GF(q), такой, что в расширении поля, построенном по модулю , соответствующий многочлену x элемент поля является примитивным.
Одновременно становиться очевидным, что существуют примитивные многочлены всех степеней, так как всегда можно выбрать многочленом, задающим поле, минимальный многочлен примитивного элемента, который по определению будет примитивным.
1) Галуа (Galois) Эварист (1811-32), французский математик. Труды по теории алгебраических уравнений положили начало развития современной алгебры. С идеями Г. связаны такие ее важнейшие понятия, как группа, поле и др. Научное наследие Г. небольшое число очень кратко написанных робот, которые из за новизны идей не были понятыми при жизни Г.
2) При изложении этого раздела использованы материалы монографии Р. Блейхута. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки. Под редакцией К. Щ. Зигангирова. М:, Мир, 1986, Стр 88-110.
3) Термин простой элемент используется как общий для произвольного кольца, для кольца многочленов P[x] употребляется также и термин неприводимый многочлен.