- •Федеральное агентство по образованию
- •1.Системы линейных алгебраических уравнений
- •1.1. Основные понятия и определения
- •1.2.Методы решения систем линейных уравнений
- •1.2.1.Метод Крамера
- •Замечание. Если главный определитель системы отличен от нуля 0, то система имеет единственное решение.
- •1.2.2.Матричный метод
- •Эту систему можно записать в матричном виде с помощью матричного уравнения
- •1.2.3 Метод Гаусса
- •Полученная матрица соответствует системе
- •1.3 Задачи для самостоятельного решения
- •1.4. Вопросы для подготовки к экзамену по теме «Системы линейных алгебраических уравнений»
- •2. Комплексные числа
- •2.1.Понятие и представления комплексных чисел
- •2.2.Формы записи комплексных чисел
- •2.3.Действия над комплексными числами
- •2.4 Задачи для самостоятельного решения
- •2.5 Вопросы для подготовки к экзамену по теме «Комплексные числа»
- •3. Линейные преобразования собственные значения и собственные векторы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Оглавление
- •Библиографический список
- •660025, Г. Красноярск, ул. Вавилова, 66 а
- •660025, Г. Красноярск, ул. Вавилова, 66 а
2.4 Задачи для самостоятельного решения
Найти .
Найти .
Найти .
Привести к тригонометрическому виду комплексные числа:
а) ,
б) .
Найти .
Найти .
Решить уравнения:
а) ,
б) .
Ответы: 1) 2) 3) 4а)
4б) 5) 6) , ,
7а) 7б) , ,
.
2.5 Вопросы для подготовки к экзамену по теме «Комплексные числа»
Комплексные числа: основные понятия и определения. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
Алгебраическая, тригонометрическая, показательная форма комплексного числа, связь между ними. Переход от алгебраической формы к тригонометрической и показательной.
Действия над комплексными числами: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня n-ой степени.
Решение уравнений вида .
3. Линейные преобразования собственные значения и собственные векторы
Пусть задано линейно преобразование вида
, (1)
которое вполне определяется матрицей коэффициентов
( )
.
Матрица А называется матрицей линейного преобразования.
Вектор называется собственным вектором линейного преобразования, заданного матрицей А , если найдется такое число λ , что выполняется условие .
Это число λ называют собственным значением линейного преобразования, соответствующим собственному вектору .
Каждое собственное значение матрицы А является корнем ее характеристического уравнения
. (2)
Координаты собственных векторов, соответствующих найденным собственным значениям, находят из системы уравнений
. (3)
Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей
.
Решение. Составляем характеристическое уравнение
.
Раскроем определитель по правилу треугольника
В результате преобразований последнее выражение примет вид:
.
Разложим левую часть уравнения на множители
,
,
.
Решением уравнения будут значения , , которые являются собственными значениями матрицы А.
Для отыскания координат собственных векторов составим систему уравнений
Найдем собственные векторы, соответствующие значению .
При получим систему уравнений
,
или
.
Легко видеть, что ранг матрицы системы равен 1, и система эквивалентна одному уравнению:
,
откуда
.
Если принять , а , то значение будет равно , где и - произвольные действительные числа.
Таким образом, все собственные векторы, соответствующие , определяются равенством
.
Найдем собственные векторы, соответствующие .
При получим систему уравнений
или
.
Запишем матрицу этой системы уравнений
.
Так как определитель этой матрицы равен 0, а минор второго порядка
,
то ранг матрицы равен двум, и первые два уравнения системы линейно независимы. Оставим в системе только независимые уравнения, члены с перенесем в правые части уравнений:
.
Пусть , где - любое действительное число. Тогда система уравнений примет вид:
.
Решим эту систему методом Гаусса
,
,
, .
Таким образом, все собственные векторы, соответствующие , определяются равенством
или
.
Ответ. При собственном значении собственные векторы равны . При собственном значении собственные векторы равны .