54. Відмінність між функціональною, статистичною та кореляційною залежностями.

Дві випадкові величини X і У можуть бути або залежними одна від другої, або бути незалежними.

Якщо ці величини залежні між собою, то ця залежність може бути або функціональною, або статистичною.

Строга функціональна залежність на практиці трапляється рідко, частіше - статистична.

Статистичною залежністю між двома величинами називають таку залежність, за якої зміна розподілу ймовірностей однієї з них викликає зміну розподілу ймовірностей другої.

Якщо за статистичної залежності двох величин за зміни однієї з них змінюється середнє значення іншої, то таку статистичну залежність називають кореляційною.

У багатьох практичних задачах часто виникає потреба - на основі вибірки встановити й оцінити залежність однієї випадкової величини від іншої (чи інших), встановити взаємозв'язок між цими величинами. Такі задачі розв'язуються за допомогою кореляційного та регресійного аналізів.

54. Вибірковий коефіцієнт кореляції двовимірної випадкової величини (X, y) і визначення за його допомогою лінійного зв'язку між складовими X і y.

Нехай двовимірна випадкова величина (X, У) розподілена нормально і нехай за заданим рівнем значущості треба перевірити гіпотезу H₀: r_ху = 0 при Н₁:r _ху 0.

Перевірка гіпотези здійснюється за правилом:

1. Обчислюється х_віу_в.

2. Обчислюється середні квадратичні відхилення σ_вх і σ_ву.

3. Обчислюється r_в

4. Обчислюється емпіричне значення критерію Стьюдента за фор­муллою

5. За таблицею критичних точок Стьюдента за даними , зосеред­женому у верхньому рядку табліщі, і числом ступені k=n-2 знаходять критичну точку двосторонньої критичної області.

6. Робиться висновок

59. Рівняння лінійної регресії та його знаходження методом найменших квадратів.

Регресійний аналіз встановлює аналітичну форму залежності. Математична модель регресії, або просто – регресійна модель, -це аналітичний вираз залежності Y від Х.

Базою регресійних моделей служать вибіркові рівняння регресії, які записуються у формі:

Вибіркового рівняння регресії У на Х

Або вибіркового рівняння регресії Х на У

Основним методом для знаходження наближених значень таких параметрів є метод найменших квадратів. Його ідея полягає в тому щоб знайти такі точкові оцінки a^* і b* параметрів a і b, для яких пряма Y^*_x= a^*x+ b*

Була б найближчою до точок (x₁ , у_{1), …} (x_n , у_n)

За міру відхилення шуканої прямої від точок (x_i , у_i) вибирають величину

За точкові оцінки a^* і b* параметрів a і b вибирають мінімальне значення квадрату відхилення тобто S(a^*,b*)=min S(a,b)

Метод знаходження таких оцінок параметрів a і b з використання попередньої функції називається методом найменших квадратів.

Рівняння лінійної регресії Y_x= a _вx+ b_в

Коефіцієнт a _в називається коефіцієнтом регресії.

59. Вираження рівняння лінійної регресії через коефіцієнт кореляції.

Лнійне рівняння регресії можна подати й через коефіцієнт кореляції як формулу