54. Перевірка гіпотез про рівність математичних сподівань двох незалежних нормально розподілених випадкових величин

Нехай дві генеральні сукупності характеризуються відповідно двома незалежними нормально розподіленими випадковими величинами X і У із невідомими відповідно математичними сподіваннями М{Х) і М{У). Розглянемо два випадки.Випадок перший, коли дисперсії D_r(Х) і D_r (У) відповідних генеральних сукупностей відомі. Допускається, що: відомі дві незалежні вибірки обсягу п генеральної X та обсягу т генеральної У, причому n > З0 і т > З0; рівень значущості . Правило 1. Якщо H₀ : М(Х) = М(Y), а H₁: М(Х) М(У), то перевірка гіпотези здійснюється за правилом: Обчислюється х_в і у_в. Обчислюється емпіричне значення критерію за формулою

За таблицею значень інтегральної функції Лапласа знаходять критичну точку г_кр двосторонньої критичної області з рівності

_{Робиться висновок:}

Правило 2. Якщо H₀ : М(Х) = М(Y), а H₁: М(Х)>М(У), то перевірка гіпотез здійснюється за попереднім правилом 1 із змінами: Знаходиться критична точка г_п.кр правосторонньої критичної області, користуючись при рівністю

Робиться висновок:

Правило 3. Якщо H₀ : М(Х) = М(Y), а H₁: М(Х)<М(У), то

перевірка гіпотез здійснюється за попереднім правилом 2 із змінами у висновку, враховуючи, що критична точка - лівостороння, тобто що z_п.кр=- z_п.кр:

Випадок другий, коли дисперсії D_r(Х) і D_r (У) відповідних генеральних сукупностей невідомі. Допускається, що:

• D_r(Х) = D_r (У)хоч вони й невідомі;

• відомі дві незалежні невеликі вибірки обсягів п генеральної X та обсягу т генеральної Y, причому п< З0 і m<30 (випадок малих вибірок);

• рівень значущості .

Правило 1. Якщо H ₀ : М{Х) = М(Y), а H₁: М(Х) М(Y), то перевірка гіпотези здійснюється за правилом:

1. Обчислюється х_в і у_в.

2. Обчислюються виправлені вибіркові дисперсії D_Хв і D_Ув.

3. За таблицею критичних точок розподілу Стьюдента за даним рівнем значущості , зосередженому у верхньому рядку таблиці, і числу ступенів вільності k=п+т-2 знаходимо критичну точку =t_kp .

4. Робиться висновок:

Правило 2. Якщо H ₀ : М{Х) = М(Y), а H₁: М(Х) >М(Y), то перевірка здійснюється за попереднім правилом 1 для цього випадку із змінами: Критичну точку правосторонньої критичної області знаходимо за таблицею критичних точок розподілу Стьюдента за даним рівнем значущості , зосередженому в нижньому рядку таблиці, і числу ступенів вільності k = п + т - 2 , тобто знаходимо критичну точку .

Робиться висновок

Правило 3. Якщо H ₀ : М(Х) = М(Y), а H₁: М(Х) <М(Y), то перевірка гіпотез здійснюється за попереднім правилом 2 із змінами у висновку, враховуючи, що критична точка - лівостороння, тобто що = :

54. Перевірка гіпотез про рівність дисперсій двох незалежних нормально розподілених випадкових величин.

Нехай дві генеральні сукупності характеризуються відповідно дво- ;залежними нормально розподіленими випадковими величинами X і Y із невідомими дисперсіями D_r(Х) і D_r(Y) відповідно. Допускається, що:

• відомі вибірки обсягу п генеральної X та обсягу т генеральної Y;

• івень значущості .

Правило 1. Якщо H ₀ : D_r(Х) = D_r(Y), а H ₀ : D_r(Х) > D_r(Y), то перевірка гіпотез здійснюється за правилом:

1. Обчислюється х_в і у_в.

2. Обчислюються виправлені вибіркові дисперсії D_Хв і D_Yв.

3. Обчислюється емпіричне значення критерію за формулою

4. За таблицею критичних точок розподілу Фішера - Снедекора для заданого рівня значущості і ступенів вільності k₁=п -1 і k₂ = т -1 знаходимо критичну точку правосторонньої критич­ної області f_п.кр = .

5. Робиться висновок:

Правило 2. Якщо H ₀ : D_r(Х) = D_r(Y), а H ₀ : D_r(Х) D_r(Y), то перевірка гіпотез здійснюється за вищенаведеним правилом, у якому змінюється лише методика обчислення критичних точок. У такому разі

критична точка є двосторонньою