Принцип резолюции для логики предикатов.

Если матрица формулы в результате приведения к виду ПНФ не будет содержать свободных переменных и сколемовских функций, то для вывода заключения полностью пpuменим алгоритм принципа резолюции, рассмотренный в исчислении высказываний. Этот алгоритм основывается на том, что если две формулы состоящие из дизъюнкции атомов (в дальнейшем такие формулы будем называть дизъюнктами ) связаны конъюнкцией, и в них имеются два одинаковых или приводимых к одинаковым (унифицируемых ) атома с разными знаками, то из них можно получить третий дизъюнкт , который будет логическим следствием первых двух, и в нем будут исключены эти два атома. Однако, если в результате приведения к виду ССФ аргументы атомов содержат сколемовские функции, то для поиска контрарных атомов необходимо выполнить подстановки термов вместо предметных переменных и получить новые формулы дизъюнктов, которые допускают их унификацию при формировании контрарных пар. Множество подстановок нужно формировать последовательно, просматривая каждый раз только одну предметную переменную.

Например, если даны два дизъюнкта (P₁(x)ÚùP₂(x)) и (ùP₁(f(x))ÚP₃(y)), то для получения контрарной пары атомов возможна подстановка

_xò^f(х)(P₁(x)ÚùP₂(x))=(P₁(f(x))ÚùP₂(f(x))) и

_xò^f(х)(ùP₁(f(x))ÚP₃(y))= (ùP₁(f(x))ÚP₃(y)).

В результате склеивания этих дизъюнктов может быть получена резольвента: (P₁(f(x))ÚùP₂(f(x)))Ú(ùP₁(f(x))ÚP₃(y))= (ùP₂(f(x))Ú P₃(y)).

Если пара дизъюнктов имеет вид (P₁(f₁(x))ÚùP₂(x)) и (ùP₁(f₂(x))ÚP₃(y)), то никакая подстановка не позволит сформировать резольвенту.

Пример: Даны две формулы P³(a;x;f(q(y))) и ùP³(z;f(z);f(u)).

Выполнить унификацию контрарных атомов.

1) _zò^a ùP³(z;f(z);f(u))=ùP³(a;f(a);f(u));

2) _xò^f(a) P3(a;x;f(q(y)))=P³(a;f(a);f(q(y)));

3) _uò^q(y) ùP³(a;f(a);f(u))=ùP³(a;f(a);f(q(y))).

В результате получены два контрарных атома: P³(a;f(a);f(q(y))) и ùP³(a;f(a);f(q(y))). Если в эти формулы атомов вместо предметной переменной y сделать подстановку предметной постоянной b, т.е.

_yò^bP³(a;f(a);f(q(y)))=P³(a;f(a);f(q(b))) и

_yò^bùP3(a;f(a);f(q(y)))= P³(a;f(a);f(q(b))),

то получим два контрарных высказывания.

Пример. Даны две формулы P³(x;a;f(q(a))) и ùP³(z;y;f(u)).

Выполнить унификацию контрарных формул.

1) _xò^bP³(x;a;f(q(a)))=P³(b;a;f(q(a)));

2) _yò^aù P³(z;y;f(u))=ùP³(z;a;f(u));

3) _yò^aùP³(z;a;f(u))=ùP³(b;a;f(u));

_{4) u}ò^q(a)ùP³(b;a;f(u))=ùP³(b;a;f(q(a))).

В результате получены две контрарных формулы: P³(b;a;f(q(a))) и ùP³(b;a;f(q(a))).

Пример: Существуют студенты, которые любят всех преподавателей. Ни один из студентов не любит невежд. Следовательно, ни один из преподавателей не является невеждой. [1]

Пусть P₁(x):=” x – студент”, P₂(y):=”y – преподаватель”, P²₃(x, y):=”x любит y”, P₄(y):=”y - невежда”.

Формулы этого суждение имеют вид:

$_x(P₁(x)&"_y(P₂ (y)®P²₃(x; y)));

"_x(P₁(x) ®"_y(P₄ (y)®ùP²₃(x; y)));

"_y(P₂ (y)®ùP₄(y));

• Преобразовать посылки и отрицание заключения в ССФ:

1. F₁=$_x(P₁(x)&"_y(P₂ (y)®P²₃(x; y)))= $_x"_y(P₁(x)& (P₂ (y)®P²₃(x; y)))= "_y(P₁(a)& (P₂ (y)®P²₃(a; y)))= "_y(P₁(a)& (ùP₂ (y)ÚP²₃(a; y)));

M₁= P₁(a)&(ùP₂ (y)ÚP²₃(a; y));

2. F₂="_x(P₁(x) ®"_y(P₄ (y)®ùP²₃(x; y)))=

"_x"_y (P₁(x) ® (P₄ (y)®ùP²₃(x; y)))= "_x"_y (ùP₁(x)ÚùP₄ (y)ÚùP²₃(x; y)));

M₂=(ùP₁(x)ÚùP₄ (y)ÚùP²₃(x; y));

3. F3=ù"_y(P₂ (y)®ùP₄(y))= $_y(ù(ùP₂(y)ÚùP₄(y))= $_y(P₂(y) &P₄(y))=

P₂(b)&P₄(b);

M₃=P₂(b)&P₄(b).

• Выписать множество дизъюнктов:

K={P₁(a); (ùP₂ (y)ÚP²₃(a; y)); (ùP₁(x)ÚùP₄ (y)ÚùP²₃(x; y)); P₂(b); P₄(b)};

• Выполнить унификацию и формирование резольвент:

1) P₂(b) Ú _xò^b(ùP₂ (y)ÚP²₃(a; y))= P²₃(a; b);

2) P²₃(a; b)Ú_yò^b (ùP₁(x)ÚùP₄ (y)ÚùP²₃(x; y))= (ùP₁(x)ÚùP₄ (b));

3) (ùP₁(x)ÚùP₄ (b)) Ú P₁(a)= ùP₄ (b)

4) ùP₄ (b) ÚP₄ (b)= .