Метод кусочно-линейной аппроксимации

Используется в том случае, когда нелинейная часть системы безынерционна и её характеристика может быть аппроксимирована прямолинейными участками.

Для каждого участка процессы в системе описываются линейными дифференциальными уравнениями, решение которых может быть найдено. Значения переменных в конце данного участка являются начальными условиями для последующего участка. Таким образом удаётся построить фазовую траекторию движения системы.

10 Метод гармонической линеаризации

Этот метод базируется на замене нелинейного элемента линейным звеном, параметры которого определяются при синусоидальном входном сигнале из условия равенства амплитуд первых гармоник на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного звена. Данный метод может быть использован в том случае, когда линейная часть системы является низкочастотным фильтром, т.е. отфильтровывает все возникающие на выходе нелинейного звена гармонические составляющие, кроме первой гармоники.

Пусть нелинейное звено является статическим. На вход звена действует сигнал:

На выходе этого звена действует сигнал:

Разложив его в ряд Фурье, получим:

, (8.5)

где - cлагаемое, учитывающее вторые и более высокие гармонические составляющие.

Коэффициенты ряда Фурье имеют вид:

(8.6)

Так как , где , то (8.5) можно записать в виде:

. (8.7)

Это выражение называют уравнением гармонической линеаризации, а коэффициенты и - коэффициентами гармонической линеаризации.

Представляется возможным сделать следующий вывод:

При постоянных значениях амплитуды входного сигнала коэффициенты гармонической линеаризации являются постоянными. Различным амплитудам входного сигнала соответствуют различные коэффициенты гармонической линеаризации. В обычной линеаризации коэффициенты не зависят от амплитуды входного сигнала, а определяются только видом характеристики нелинейного звена.

Уравнение гармонической линеаризации (8.7) – это линейное уравнение, поэтому и вся система радиоавтоматики становится линейной. Для её исследования могут быть использованы методы, разработанные для линейных систем. Зависимость коэффициентов гармонической линеаризации от амплитуды сигнала на входе нелинейного звена позволяет выявить специфические свойства нелинейных систем, которые не могут быть определены при использовании обычной линеаризации.

11 Определение коэффициентов гармонической линеаризации для характеристики с ограничением

Определим коэффициент гармонической линеаризации для нелинейной характеристики, анализ которой позволяет установить некоторые важные для практики положения.

По формулам (8.6) получим:

,

где - значение аргумента, при котором наступает ограничение

В этом случае:

Рис. 8.1. К определению коэффициентов гармонической линеаризации

Представляется возможным сделать вывод, что для однозначных нелинейных характеристик коэффициент гармонической линеаризации и уравнение гармонической линеаризации имеет вид