Производные и дифференциалы высших порядков

Поскольку для y = f (x) ее производная f (х) является некоторой функцией, то естественно поставить вопрос о ее дифференцировании. В этом случае приходим ко второй производной: у''= , аналогично

…,

Пример 1. любая ее производная совпадает с этой функцией:

Пример 2.

;

…………………………………………

Примеры. Найти для указанных функций.

1. 

Решение. Находим производную 1го порядка по правилу дифференцирования дроби.

Находим вторую производную:

2. y = arctg²x.

Решение. Находим производную первого порядка:

и производную второго порядка:

Дифференциалом 2-го порядка называется дифференциал от дифференциала

, значит:

, а

Аналогично:

Производные и дифференциалы функции, заданной параметрически

Если зависимость между переменными дается в виде соотношения:

x = x (t)

y = y (t),

которое определяет у как функцию от х, то говорят, что функция у = у (х) задана параметрически. По формуле (4.30) § 4.24

Найдем дифференциалы

(38)

С оотношение

x = х (t)

определяет функцию у' как функцию аргумента х, заданную параметрически, поэтому производная второго порядка

(39)

Примеры. Найдем производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически.

1 )

Решение:

2 )

Р ешение. Найдем

и

Первая производная:

Вторая производная:

Лекция 27.

§1. Основные понятия.

Пусть имеется переменных величин, и каждому набору их значений из некоторого множества соответствует одно вполне определенное значение переменной величины . Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных

– объем цилиндра , – радиус основания, – высота.

– независимые переменные (аргументы)

– зависимая переменная (закон соответствия)

Множество – область определения функции.

Пример. Найти область определения функции

Решение:

единичный круг с центром в начале координат.

Примеры функций нескольких переменных:

1. линейная функция

, можно рассматривать как сумму линейных функций от переменных .

2. квадратическая функция

, не раскладывается в сумму функций одной переменной.

– постоянные числа.

В дальнейшем будем рассматривать функцию двух переменных . Область ее определения , есть подмножество координатной плоскости ОХУ.

О крестностью точки называется круг, содержащий точку

на прямой

Графиком функции двух переменных называется множество точек трехмерного пространства , где и связаны функциональным соотношением .

График функций двух переменных представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве (если гиперповерхность, в (n+1)-мерном пространстве – абстрактно).

Д ля построения графика функции полезно рассматривать функции одной переменной и представляющих сечения графика плоскостями, и координатными плоскостями ОХZ и ОУZ, т.е. плоскостями и .

Пример. Построить график функции .

Решение:

1. – парабола

2. – парабола

3. – окружность

Строить поверхности сложно, имеют меньшую наглядность. Для поведения функции используют другие виды изображений. Одним из них является линии уровня.

Линией уровня функции двух переменных называется множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и тоже и равно . Число называется уровнем.

Н а рисунке изображены линии уровня, соответствующие значениям . Линия уровня состоит из двух непересекающихся кривых. – самопересекающаяся кривая.

П римеры:

Параллели и меридианы на глобусе – линии уровня функций широты и долготы, синоптики – изображение изотерм – линий уровня температур, построение линий уровня легче, чем построение графиков.

Пример. Построить линии уровня функции .

Решение:

Линия уровня – это кривая на плоскости ОХУ задаваемая уравнением . – это уравнение окружности с центром в точке и радиусом . Точка – это вырожденная линия уровня, соответствующая минимальному значению функции и достигающемуся в точке . Линии уровня – концентрические окружности, радиус которых увеличивается с радиусом , причем расстояния между линиями с одинаковым числом уровня уменьшается по мере удаления от центра.