
- •Тексты лекций по математике I семестр
- •1.3. Перемножение матриц.
- •1.4. Определители второго и третьего порядков
- •1.5. Основные свойства определителей.
- •1.6.Разложение определителя по строке.
- •2.1. Обратная матрица.
- •2.2. Решение матричных уравнений
- •2.3. Ранг матрицы. Теорема о ранге. Вычисление ранга матрицы
- •2.4. Теорема о ранге.
- •3.1. Основные понятия о системах линейных уравнений
- •3.2. Правило Крамера.
- •1. Если система (3.2) имеет единственное решение, определяемое по формулам: .
- •3.3. Решение линейных систем с помощью обратной матрицы.
- •3. 4. Метод Гаусса решения линейных систем.
- •3.5.Общее решение однородной линейной системы.
- •5.1. Основные понятия о векторах.
- •5.2. Линейные операции над векторами
- •5.3. Базис и координаты вектора.
- •5.4. Скалярное произведение векторов.
- •Свойства скалярного произведения:
- •Векторное произведение векторов
- •Смешанное произведение векторов.
- •Прямая на плоскости.
- •Неполные уравнения прямой.
- •Расстояние от точки до прямой.
- •Плоскость в пространстве
- •Неполные уравнения плоскости.
- •Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
- •Прямая в пространстве.
- •Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.
- •Собственные числа и собственные векторы матрицы
- •Свойства характеристического многочлена:
- •Свойства собственных чисел и собственных векторов:
- •Свойства эллипса:
- •Гипербола.
- •Свойства гиперболы:
- •Парабола.
- •Свойства параболы:
- •Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду.
- •Математический анализ
- •Операции с множествами
- •Множество действительных чисел.
- •Функция.
- •Пределы функций.
- •Свойства пределов.
- •Предел числовой последовательности.
- •Свойства бесконечно малых.
- •Бесконечно большие функции.
- •Свойства непрерывных функций.
- •Точки разрыва и их классификация.
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •Непрерывность обратной функции.
- •Непрерывность элементарных функций.
- •Натуральный логарифм и гиперболические функции.
- •Определение комплексного числа.
- •2. Вычисление рациональных корней уравнения.
- •3. Простейшие рациональные дроби.
- •4. Методы вычисления коэффициентов числителя.
- •Определение производной. Ее практическое содержание
- •Дифференцируемость и непрерывность.
- •Правила дифференцирования
- •Дифференцирование основных элементарных функций
- •Дифференцирование функции, заданной неявно
- •Дифференциал функции и его приложение
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Производные и дифференциалы функции, заданной параметрически
- •§1. Основные понятия.
- •§2. Предел функции.
- •§3. Частные производные.
- •§4. Полный дифференциал функции.
- •§5. Производная по направлению. Градиент.
- •§6. Экстремум функции нескольких переменных.
- •§7. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Натуральный логарифм и гиперболические функции.
Определение 21.1. Логарифм с основанием е называется натуральным логарифмом.
Обозначение: logex=ln x.
Определение
21.2. Функции
(гиперболический
синус),
(гиперболический косинус),
(гиперболический
тангенс) и
(гиперболический котангенс) называются
гиперболическими
функциями.
Замечание 1. Гиперболические функции обладают некоторыми свойствами, похожими на свойства обычных тригонометрических функций. Например,
сh²x – sh²x = ¼(e2x + 2 + e-2x - e2x + 2 - e-2x)=1,
2
shx
chx
= 2
=
=sh2x,
thx=shx/chx, cthx=chx/shx,
thx·cthx
=
=1
и т.д.
Замечание 2. Термин «гиперболические» объясняется тем, что уравнения
x
= a
ch t,
y
= a
sh t,
a>0,
являются параметрическими уравнениями правой ветви гиперболы x² - y² = a², так же, как x = a cost, y = a sint (0≤t≤2π) – параметрические уравнения окружности x²+y²=a².
Лекция 22. Комплексные числа.
Определение комплексного числа.
Определение 22.1.
Комплексным
числом
будем называть упорядоченную пару
действительных чисел
,
записанную в форме
,
где
-
новый объект ("мнимая единица"),
для которого при вычислениях полагаем
.
Первая
компонента комплексного числа
,
действительное число
,
называется действительной частью числа
,
это обозначается:
;
вторая компонента, действительное число
,
называется мнимой частью числа
:
.
Определение
22.2. Два комплексных числа
и
равны тогда и только тогда, когда равны
их действительные и мнимые части:
.
Множество комплексных чисел неупорядочено, т.е. для комплексных чисел не вводятся отношения "больше" или "меньше".
Геометрически
комплексное число
изображается как точка с координатами
на плоскости. Плоскость, на которой
изображаются комплексные числа,
называется комплексной плоскостью С.
Определение 22.3.
Суммой двух комплексных чисел
и
называется комплексное число
,
определяемое соотношением
,
т.е.
,
.
Это означает, что геометрически комплексные числа складываются как векторы на плоскости, покоординатно.
Определение 22.4.
Произведением двух комплексных чисел
и
называется комплексное число
,
определяемое соотношением
,
т.е.
.
Для двух комплексных
чисел с нулевой мнимой частью
и
получим
,
,
т.е. для множества комплексных чисел с
нулевой мнимой частью операции сложения
и умножения не выводят за пределы этого
множества. Отождествим каждое такое
число с действительным числом
,
равным действительной части комплексного
числа, т.е. будем считать, что
.
Теперь действительные числа - подмножество
множества комплексных чисел С.
Числа с нулевой действительной частью,
т.е. числа вида
,
называются мнимыми
числами.
Определение 22.5.
Число
называется числом, сопряжённым к числу
.
Часто сопряжённое число обозначается
также символом
.
Определение 22.6.
Действительное число
называется модулем комплексного числа
.
Геометрически
модуль числа z
- длина радиуса вектора точки z;
модуль разности чисел
и
равен расстоянию между этими точками:
.
Найдём произведение сопряжённых чисел:
.
Таким образом,
- всегда неотрицательное действительное
число, причём
.
Для нахождения
частного комплексных чисел
домножим числитель и знаменатель на
число, сопряжённое знаменателю:
.
Примеры.
Выполнить арифметические действия с
комплексными числами
,
.
;
;
.
Тригонометрическая форма комплексного числа
Запись комплексного
числа в виде
называется
алгебраической формой комплексного
числа. Изобразим число
как точку на плоскости с декартовыми
координатами
.
Если теперь перейти
к полярным координатам
,
то
,
поэтому
.
Угол
называется аргументом комплексного
числа
и обозначается
:
.
Аргумент комплексного числа определён
неоднозначно (с точностью до слагаемых,
кратных
):
если, например,
,
то значения
,
равные
и т.д. тоже будут соответствовать числу
,
поэтому значение аргумента, удовлетворяющее
условиям
,
будем называть главным; для обозначения
всех значений аргумента комплексного
числа
применяется символ
:
.
Запись комплексного числа в виде
называется тригонометрической формой числа.
Число
-
единственное число, модуль которого
равен нулю; аргумент для этого числа не
определён.
Переход от
тригонометрической формы к алгебраической:
.
Формулы для перехода от алгебраической
формы к тригонометрической таковы:
При решении задач на перевод алгебраически заданного комплексного числа в тригонометрическую форму следует изобразить это число на комплексной плоскости С и, таким образом, контролировать полученный результат.
Примеры: записать в тригонометрической форме числа
.
.
В
тригонометрической форме легко
интерпретируются такие действия, как
умножение, деление, возведение в степень.
Пусть
,
,
.
Тогда
Вывод: при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, аргументы складываются.
Если
,
то
,
т.е. операция сопряжения не меняет модуль
числа, и изменяет знак его аргумента,
поэтому
.
Вывод: при делении комплексных чисел их модули делятся друг на друга, аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
Показательная форма комплексного числа
Ряд Маклорена для
функции
сходится к функции при любом действительном
х.
Запишем это разложение для
:
Степени числа
:
.
В круглых скобках
стоят ряды для
и
,
которые сходятся для любого действительного
;
поэтому получаем
.
Эта формула называется формулой
Эйлера.
Теперь любое комплексное число
можно представить как
;
эта форма записи называется показательной. В этой форме умножение и деление комплексных чисел выполняются и интерпретируются также легко, как и в тригонометрической:
.
Индукцией по
показателю степени
легко доказывается формула
Муавра: если
,
то
,
или, в показательной форме,
.
С помощью этой формулы легко вычислять высокие степени комплексных чисел.
Пример.
Упростить.
.
В заключение
рассмотрим операцию извлечения корня
-ой
степени из комплексного числа
.
По определению, любое число
,
такое, что
,
называется корнем
-ой
степени из числа
.
Пусть
,
.
Тогда
.
Числа равны, если равны их модули и
аргументы, поэтому
,
,
откуда
,
,
при этом
различных значения корня
-ой
степени из числа
получаются при
.
Пример:
найти все значения
.
Число
в тригонометрической форме имеет вид
.
Все пять значений корня даются формулой
,
при
.
Они расположены на окружности радиуса
.
Значение, соответствующее
,
имеет аргумент
,
остальные расположены с интервалом по
,
равным
,
в вершинах правильного пятиугольника,
вписанного в эту окружность.
Лекция 23.
Разложение дроби на простейшие.
1. Разложение многочлена на множители.
Функция
f(x)
=
где n
– целое
число, называют многочленом
n
– ой
степени.
Определение: Корнем многочлена n – ой степени называют такое значение переменного х при котором многочлен обращается в нуль.
Если х = а – корень многочлена, то многочлен f(x) делится на разность х – а
без остатка, т.е. представляется в виде произведения:
Теорема 1. Всякий многочлен n – ой степени разлагается на n+1 линейных множителей, первым из которых является множитель, равный коэффициенту при х n
Пример.
Многочлен f(x) = х3 – 6х2 + 11х – 6 при х = 1 обращается в нуль, поэтому по теореме 1 делится без остатка на разность х –1.
х
3
– 6х2
+ 11х – 6 х - 1
х2
– 5х + 6
- 5х2 + 11х
- 5х2 5х
6х - 6
6х - 6
0
f(x) = (х - 1)(х2 – 5х +6) = (х - 1)(х - 2)(х - 3)
(Квадратный трехчлен разлагается на множители).
Теорема 2. Целые корни многочлена
f(x) = хn + A1xn-1 + A2хn-2 +…+Аn
находятся среди делителей свободного слагаемого.
Пример. Разложить многочлен на множители
f(x)
= х3 –
5 х
+
8 х – 4
Найдем корни многочлена, т.е. решим уравнение
х3 – 5 х + 8 х – 4 = 0
Выпишем делители свободного слагаемого (– 4):
1; 2; 4
х = 1 – один из корней многочлена, т.е. данный многочлен должен делиться на разность х – 1 без остатка.
Х3
– 5 х2
+ 8 х - 4 х – 1
Х3 – х2 х2 – 4х + 4
4х2 + 8х
4х2 + 4х
4х - 4
4х - 4
0
В результате многочлен разложился на множители:
Х3 –5х2 + 8х – 4 = (х - 1)(х2 – 4х + 4)=(х -1)(х - 2)2 = (х - 1)(х - 1)(х - 1).
Если многочлен имеет корень кратности k, то считается, что многочлен имеет k одинаковых корней.
Теорема 2. Всякий многочлен степени n имеет ровно n корней (действительных или мнимых).