МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Контрольная работа

По дисциплине: Языки программирования

На тему: «Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка»

Выполнила:

Студентка группы Т-1191

Шелковникова Мария Анатольевна ________________________

Проверил:

Канд. техн. наук, доцент

Семахин Андрей Михайлович ________________________

Курган, 2012г.

Содержание

Введение

1. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка

2. Явный метод Эйлера

3. Улучшенный метод Эйлера

4. Метод Рунге-Кутты третьего порядка точности

Постановка задачи

2.1. Задача

2.2. Требования

Алгоритм решения задачи

3.1. Исходный код функции: Подключение директив препроцессора и объявление функций

3.2. Исходный код функции «явный метод Эйлера»

3.3. Исходный код функции «уточненное решение с помощью формулы Рунге»

3.4. Исходный код функции «улучшенный метод Эйлера»

3.5. Исходный код функции «метод Рунге-Кутты 3-го порядка»

3.6. Исходный код функции: главная функция main

Результат работы приложения

4.1. При n=5, Y₀=1, X₀=0, X_k=0,5,

4.2. При n=10, Y₀=1, X₀=0, X_k=0,5,

Заключение

Введение

1.1. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка

Задача Коши – одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным).

Рассматривается задача Коши для одного дифференциального уравнения первого порядка разрешенного относительно производной:

Требуется найти решение на отрезке . Введем разностную сетку на данном отрезке , .

Точки x_k – называются узлами разностной сетки, расстояния между узлами – шагом разностной сетки (h), а совокупность значений какой либо величины заданных в узлах сетки называется сеточной функцией .

Приближенное значение задачи Коши будем искать численно в виде сеточной функции y^(k).

1.2. Явный метод Эйлера

Метод Эйлера – наиболее простой численный метод решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые описан Леонардом Эйлером в 1768 году в работе «Интегральное исчисление». Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности, основанном на аппроксимации интегральной кривой кусочно линейной функцией, т. н. ломаной Эйлера.

Метод Эйлера имеет невысокую точность решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Способы вывода расчетных соотношений: геометрическая интерпретация, разложение в ряд Тейлора, конечно-разностный метод (разностная аппроксимация производной), квадратурный способ (использование эквивалентного интегрального уравнения). Формула метода Эйлера имеет вид:

.