Гладкие кривые
«Все умные места кривые.» Мераб Мамардашвили
Кривые Безье и NURBS-кривые выбраны в качестве средств векторной графики из-за возможности простого управления их гладкостью. Гладкость означает, что при моделировании на кривой не образуется петель и резких преломлений (тем более разрывов). Но при этом, не исключена возможность создания, как гладкого сопряжения, так и изгибов, например острых углов.
Примером такого сочетания гладких кривых и острых преломлений служат профили авиакрыла. Что же такое гладкость кривых?.
Пример. Продолжая рассматривать пример частицы, которая перемещается по кривой, должно обеспечиваться требование: у нее на пути вдоль параметрической кривой не должно быть остановок (кроме начала и конца) и внезапного изменения направления.
Для того чтобы представить такое направление движения частицы, можно мысленно "укрепить" на ней стрелку, которая непрерывно указывает направление движения вдоль параметрической кривой.
На математическом языке стрелка на частице называется касательной. Если касательная в соседних точках не меняет внезапно своего направления, такую кривую считают гладкой (рис. 1.3).
Если "на кривой имеется излом, то направление касательной в точке Q меняется практически мгновенно (рис. 1.4).
Рис.
1.3. Касательная
на гладкой кривой
Рис.
1.4. Касательная
на кривой с изломом
Теперь требуется подробнее познакомиться с основами построения гладких кривых, применяющихся в векторной компьютерной графике. Начнем с NURBS-кривых, которые являются более общим (а соответственно, и более сложным) случаем таких кривых.
Nurbs-кривая. Контрольные точки.
Термина NURBS образован аббревиатурой от английской фразы и расшифровывается как Non-Uniform Rational B-spline, где:
"Non-Uniform" (неоднородный) означает, что область влияния контрольной точки на форму кривой может быть различной. Это важное свойство для моделирования иррегулярных кривых.
"Rational" (рациональный) означает, что математическое выражение, описывающее форму моделируемой кривой, есть отношение двух полиномов. Эта особенность позволяет точнее моделировать различные кривые, например конические сечения.
"B-spline" (basis spline, базовый сплайн) – способ математического описания кривой интерполяцией между тремя и более контрольными точками.
Замечание. Привычные для плоских векторных художников кривые Безье есть частный случай В-сплайна. Информацию о кривых Безье см. далее, в одноименном разделе.
Эти расшифровки не внесли пока большую ясность для тех кто, не знаком со специальными разделами математики. Поэтому дальше рассмотрим все по порядку.
3.1 Контрольные точки
Вспомним определение параметрической кривой, которое упоминалось ранее.
Определение параметрических функций см. в параграфе 1 - "Параметрические уравнения" данной темы.
В этом определении левая часть выражения, описывающая функцию q, выглядит так:
q(t) =…
где t – параметр, представляющий заданный набор значений определенного диапазона, как правило, от 0 до 1. Используя эти значения, получают последовательность пар {х, у}, по которым строится моделируемая кривая (рис. 1.5).
Рис.
1.5. Пример
построения параметрической кривой
В этом выражении не определена правая часть, т. е. собственно параметрическое уравнение, а точнее, параметрические ... уравнения.
Одна из основных особенностей NURBS-кривой состоит в том, что ее форма определяется местом расположения множества контрольных точек (control points). На рис. 1.6. эти точки обозначены как Qi. Правильнее было бы обозначить их символом Bi
Замечание. Контрольные точки соединены для наглядности прямыми линиями. Эта ломаная линия получила название управляющего многоугольника (control polygon).