Министерство образования Российской Федерации

Омский государственный технический университет

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Типовой расчет

и

методические указания к его выполнению

Омск – 2001

Составители: Алла Александровна Веснина, и.о. доцента

Наталья Самуиловна Кац, старший преподаватель

Методические указания предназначены для оказания методической помощи студентам дневной, вечерней и заочной форм обучения в процессе их подготовки и выполнения индивидуальных самостоятельных заданий по разделу «Теория вероятностей» курса высшей математики.

Настоящие методические указания охватывают материал разделов «Случайные события», «Случайные величины» и «Системы случайных величин».

Методические указания состоят из двух частей: образца выполнения задания и

11 задач для самостоятельного решения.

Образец выполнения задания

Задача 1. На рис. 1 и 2 изображены электрические схемы. Выключатели изображены кружками, в которых указан номер выключателя. Записать через события - «включен выключатель с номером » для каждой схемы следующие события: - «ток идет» и - «ток не идет».

Рис. 1 Рис. 2

Решение. В схеме, приведенной на рис. 1, ток идет, если включены или 1 и 3 выключатели, или выключатель 2. Эти события соответственно равны и . Поэтому событие . В схеме (рис. 1) ток не идет, если выключены выключатель 2 и хотя бы один из выключателей 1 или 3. Эти события соответственно равны и . Поэтому событие . Иначе, используя свойства операций над событиями,

.

Для схемы (рис. 2) , .

Задача 2. Наудачу взятый телефонный номер состоит из пяти цифр. Как велика вероятность, что в нем: а) все цифры различные; б) все цифры нечетные?

Решение. а) Событие - все цифры различные. , где - число всех элементарных равновозможных событий, m - число элементарных равновозможных событий, благоприятных наступлению события . Пусть - число всевозможных способов выбора 5 цифр из 10 возможных, причем цифры могут повторяться, поэтому . m - число всевозможных способов выбора 5 цифр из 10 возможных, но цифры должны быть различными, поэтому (порядок для телефонного номера важен). Таким образом, .

б) Событие - все цифры нечетные. , - число всевозможных способов выбора 5 цифр из 5 нечетных, причем цифры могут повторяться, поэтому . Таким образом,

Задача 3. Некто написал 3 письма, запечатал их в конверты, а затем наудачу на каждом из них написал различные адреса. Определить вероятность того, что хотя бы на одном из конвертов написан правильный адрес.

Решение. Пусть событие состоит в том, что на k-м конверте написан правильный адрес (). Искомая вероятность , так как события А₁, А₂, А₃ совместны, то

.

Для всех . Таким образом,

.

Задача 4. Три станка подают детали в общий бункер. Вероятность выпуска бракованной детали для первого станка равна 0,03, для второго – 0,02 и для третьего – 0,01. Производительность первого станка в три раза больше производительности второго, а производительность третьего станка в два раза больше производительности второго. Какова вероятность того, что взятая наудачу из бункера деталь будет бракованной?

Решение. Пусть событие - деталь, взятая наудачу из бункера, бракованная. Событие может произойти только совместно с одним из следующих событий: - деталь изготовлена на 1-м станке, - на 2-м станке, - на 3-м станке. События образуют полную группу несовместных событий, поэтому

. Если принять производительность второго станка за k, то производительность первого станка - 3k, третьего – 2k. Тогда

Задача 5. Найти вероятность того, что среди 200 изделий окажется более трех бракованных, если в среднем бракованные изделия составляют 1%.

Решение. Пусть событие - бракованных изделий окажется более трех.

- бракованных изделий не более трех.

где

.

.

Задача 6. Производится два независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна . Рассматриваются случайные величины:

- разность между числом попаданий и числом промахов; - сумма числа попаданий и числа промахов. Построить для каждой из случайных величин , ряд распределения. Найти их характеристики .

Решение. Случайная величина может принимать следующие значения: (0 попаданий, 2 промаха), (1 попадание, 1 промах), (2 по-падания, 0 промахов). Вероятности значений случайной величины находятся по формуле Бернулли: .

Ряд распределения будет иметь вид

Х	-2	0	2

,

.

Случайная величина может принимать только одно значение: два с вероятностью, равной единице .

2

1

Задача 7. Дана функция

При каком значении функция является плотностью распределения случайной величины Найти функцию распределения случайной величины .

Решение. Из основного свойства плотности следует

.

Для .

Для .

Для

.

Для

.

Таким образом,

Задача 8. Время T между двумя сбоями ЭВМ распределено по показательному закону с параметром : при . Решение определенной задачи требует безотказной работы машины в течение времени . Если за время произошел сбой, то задачу приходится решать заново. Сбой обнаруживается только через время после начала решения задачи. Рассматривается случайная величина - время, за которое задача будет решена. Найти ее закон распределения и математическое ожидание (среднее время решения задачи).

Решение. Случайная величина может принимать следующие значения: ( за время не произошло сбоя), 2 (на первом промежутке сбой произошел, на втором промежутке сбоя не было), 3 (на первых двух промежутках длины сбои происходили, на третьем сбоя не было) и т. д.

.

Обозначим тогда - вероятность того, что за время сбой произошел; , и т. д.

Ряд распределения случайной величины

Х 2 ... ...

... ...

(вычисление суммы ряда смотри методические указания к проведению практических занятий по теории вероятностей, часть 2, стр. 15).

Задача 9. Известно, что детали, выпускаемые по размерам диаметра, распре-деляются по нормальному закону. Параметры этого закона , . Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали имеет размеры в пределах от 4 до 7 см.

Решение. где - математическое ожидание, - среднее квадратическое отклонение. Таким образом,

Х/Y 20 40 60

10 0

20

30

Задача 10. Закон распределения системы дискретных случайных величин

задан таблицей:

Найти: а) ; б) частные законы распределения случайных величин ;

в) , ; г) коэффициент корреляции ; д) вероятность попаданий

двумерной случайной величины в область ; .

Решение: так как

то .

Закон распределения случайной величины X

Х 10 20 30

Р , т. к. .

Закон распределения случайной величины Y

Y 20 40 60

P .

Отсюда:

Задача 11. Плотность совместного распределения системы двух случайных величин задана выражением .

Найти: а) коэффициент А; б) плотности распределения случайных величин , входящих в систему; в) определить зависимы или независимы случайные величины.

Решение. Из основного свойства плотности

Т.к.

случайные величины - независимы.

Задача № 1.

1.1. Пусть А В . Упростить выражения А В, А+В, А В С, А+В+С.

1.2. Бросаются две игральные кости. Пусть А - событие, состоящее в том, что сумма очков нечетная, В - событие, состоящее в том, что хотя бы на одной из костей выпала единица. Описать события .

1.3. Дана система S, состоящая из блоков Записать событие S, состоящее в том, что система S исправна.

a₁ a₂ b₁ b₂

d

1.4. Пусть А,В,С - три произвольных события. Найти выражения, если:

- произошло только событие А;

- произошло одно и только одно событие;

- произошло два и только два события;

- все три события произошли;

- произошло не более двух событий.

1.5. Пусть событие А - падает снег, событие В - идет дождь. Выразить через

А и В следующие события: а) дождь со снегом; б) дождь или снег; в) нет дождя;

г) ясная погода; д) падает снег без дождя.

1.6. Бросаются две игральные кости: одна черная, а другая белая. Отмечается число очков, выпавших на каждой кости. Сколько элементарных событий соответствует тому, что а) сумма очков больше 10? б) сумма очков - четная?

1.7. Машинно-котельная установка состоит из двух котлов и одной машины. Событие А - исправна машина, событие В_к( к = 1,2) - исправен k-й котел. Событие С означает работоспособность машинно-котельной установки, что будет в том случае, если исправна машина и хотя бы один котел. Выразить события С и через А и В_к .

1.8. Образуют ли полную группу следующие наборы событий (дать полный ответ, доказать). Опыт:

а) Бросание двух монет; события: А - появление двух гербов, А- появление двух цифр.

б) Два выстрела по мишени; события: - хотя бы попадание, В- хотя бы один промах.

1.9. Образуют ли полную группу следующие группы событий (дать полный ответ, доказать). Опыт:

а) Бросание игральной кости; события: А₁ - появление не менее трех очков, А₂ - появление не более четырех очков.

б) Два выстрела по мишени; cобытия: В₁ - ни одного попадания, В₂ - одно попадание, В₃ - два попадания?

1.10. Производится наблюдение за группой, состоящей из четырех однородных объектов. Каждый из них за время наблюдения может быть обнаружен или не обнаружен. Рассматриваются события:

А - обнаружен ровно один из четырех объектов,

В - обнаружен хотя бы один объект. Указать (с доказательством), в чем состоят события А + В; А В.

1.11. Каковы соотношения между событиями А,В и С, если АВС=А; если А+В+С=А? Дать геометрическую интерпретацию.

1.12. Назвать противоположные события для следующих событий: С - три по-падания при трех выстрелах; Д - хотя бы одно попадание при пяти выстрелах.

1.13. Назвать противоположные события для следующих событий: А - не более двух попаданий при пяти выстрелах, В - выигрыш первого игрока при игре в шахматы.

1.14. Событие В есть частный случай события А, т.е. из появления события В следует, что событие А произошло. Следует ли из , что произошло? Следует ли из событие ?

1.15. Мишень состоит из десяти кругов, ограниченных концентрическими окру-жностями с радиусами (к=1,2,...,10), причем r₂< r₂< ...< r₁₀. Событие А_k – попа-дание в круг радиусом r_k. Что означают события . Что представляет собой событие ?

1.16. События А - хотя бы один из трех проверяемых приборов бракованный,

В - все приборы доброкачественные. Что означают события А+В, А·В.

1.17. Пусть А и В - случайные события. Доказать, что А, образуют полную группу.

1.18. По мишени стреляют одиночными выстрелами до первого попадания, после чего стрельбу прекращают. Записать событие, которое должно иметь место для того, чтобы был произведен четвертый выстрел? Будет ли это событие противоположно тому событию, что произведено не более трех выстрелов?

1.19. Имеется электрическая схема

3

1 2 6

4 5

Выразить через события А_i ( i-й контакт замкнут) и ( i-й контакт разомкнут) следующие события: С - лампочка горит и - лампочка не горит.

1.20. Прибор состоит из трех блоков первого типа и четырех блоков второго типа. Событие А_i ( i = 1, 2, 3) – исправен i-й блок первого типа, В_j ( j = 1, 2, 3, 4) - исправен j-й блок второго типа. Прибор работает, если исправен хотя бы один блок первого типа и не менее трех блоков второго типа. Найти выражение для события С, которое соответствует работе прибора.

1.21. Пусть A_i - событие, состоящее в том, что при i-м повторении эксперимента осуществилось событие А; - событие, состоящее в том, что при n первых повторениях эксперимента событие А осуществилось m раз. Выразить через .

1.22. Два шахматиста играют одну партию. Событие А - выиграет первый игрок, В - выиграет второй игрок. Какое событие следует добавить к указанной совокупности, чтобы получилась полная группа событий?

1.23. Опыт - передача двух сигналов. Относительно перечисленных событий указать, образуют ли они в данном опыте полную группу событий: А - хотя бы один сигнал искажен, B- хотя бы один сигнал не искажен.

1.24. Опыт - эксплуатируются два прибора в течение времени t. Рассматривая события: А - ни один прибор не вышел из строя, В - один прибор вышел из строя, а другой нет, С - оба прибора вышли из строя. Ответить на следующие вопросы: образуют ли они полную группу, являются ли несовместными, являются ли равновозможными.

1.25. Равны ли события А и В, если а) ; б) А+С = В+С; в) АС=ВС;

1.26. Среди студентов, собравшихся на лекцию, выбирают наудачу одного. Пусть событие А заключается в том, что выбранный окажется юношей. Событие

В - в том, что он играет на гитаре, а событие С - в том, что он живет в общежитии. Описать событие АВС. При каком условии будет иметь место тождество АВС=А? Когда будет равенство А=В? Будет ли оно иметь место, если все юноши играют на гитаре?

1.27. Производится наблюдение за группой, состоящей из четырех однородных объектов. Каждый из них за время наблюдения может быть обнаружен или не обнаружен. Рассматриваются события: В - обнаружен хотя бы один объект; С -обнаружено не менее двух объектов, D - обнаружено ровно два объекта; Е -обнаружено ровно три объекта, F - обнаружены все четыре объекта. Указать, в чем состоят события D+Е+F, ВС.

1.28. Событие А - хотя бы одно из имеющихся четырех изделий бракованное, событие В - бракованных изделий среди них не менее двух. Что означают противоположные события и ?

1.29. Опыт - передача (в одинаковых условиях) трех сообщений равной длины. Рассматривая события: А - искажено первое сообщение; В - искажено второе сообщение; С - искажено третье сообщение. Ответить на следующие вопросы: образуют ли они полную группу, являются ли несовместными, являются ли равновозможными?

1.30. Опыт – Брошены 2 игральные кости. Образуют ли полную группу событий следующие наборы: А - на обеих костях шестерки, В - ни на одной кости нет шестерки, С - на одной из костей шестерка, на другой – нет. (Указать, образуют ли они в данном опыте полную группу событий).

Задача № 2.

2.1. В конверте среди 100 фотокарточек находится разыскиваемая карточка.

Из конверта наудачу извлекают 10 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная карточка.

2.2. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово "книга". Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него получилось слово "книга".

2.3. В партии готовых изделий, содержащей 20 штук, имеется 4 бракованных. Партию делят на две равные части. Какова вероятность, что бракованные изделия разделятся поровну?

2.4. В урне 2 белых и 4 черных шара. Из урны один за другим вынимаются все шары, находящиеся в урне. Найти вероятность того, что последний вынутый шар будет черным.

2.5. В группе студентов 17 юношей и 8 девушек. Какова вероятность того, что студент, фамилия которого в списке группы находится на первом месте, окажется девушкой?

2.6. Какова вероятность того, что номер билета студента четный? Делится на пять? Оканчивается нулем? (Предполагается, что студенческих билетов достаточно большое число).

2.7. В партии готовой продукции, состоящей из 20 изделий, три бракованных. Определить вероятность того, что при случайном выборе 4 изделий одновременно все они окажутся небракованными. Какова вероятность того, что бракованных и небракованных изделий окажется поровну?

2.8. В партии готовой продукции из 20 лампочек имеется 5 лампочек повышенного качества. В выборку отбирается 7 лампочек. Какова вероятность того, что в этой выборке окажется 3 лампочки повышенного качества?

2.9. В первом ящике находятся шары с номерами 1, 2, 3, 4, 5. Во втором ящике -шары с номерами 6, 7, 8, 9, 10. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность того, что сумма номеров вынутых шаров не меньше 7? Какова вероятность того, что сумма номеров равна 11 ?

2.10. Какова вероятность того, что взятый наудачу год содержит 53 воскресенья, если это год невисокосный; високосный?

2.11. Найти вероятность того, что среди пяти случайно взятых цифр нет совпадающих.

2.12. На пяти карточках написаны буквы а, д, к, л, о. После тщательного перемешивания берут по одной карточке и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что получится слово "лодка"?

2.13. Группа, которую составляют 10 мужчин и 10 женщин, делится на две равные части. Найти вероятность того, что в каждой части будет по одинаковому числу мужчин и женщин.

2.14. Буквы а, а, в, к, к, о, x написаны на отдельных карточках. Какова вероятность того, что извлекая эти карточки по одной наудачу (без возвращения обратно), получим в порядке их выхода слова "Каховка"?

2.15. Телефонный номер состоит из пяти цифр. Найти вероятность того, что все цифры различны.

2.16. Найти вероятность того, что при шести бросаниях игральной кости появятся все грани.

2.17. В магазине работает 10 продавцов, из них 6 женщин. В смену заняты 3 продавца. Найти вероятность того, что в наудачу укомплектованную смену войдут все 3 продавца мужчины.

2.18. На 8 одинаковых карточках написаны соответственно числа 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12 и 13. Наугад берутся 2 карточки. Определить вероятность того, что из двух полученных чисел дробь сократима.

2.19.Четырехтомное сочинение стоит на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что номера томов образуют монотонную последовательность?

2.20. Из 15 билетов выигрышными являются 4. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу 6 билетов будет 2 выигрышных?

2.21. В урне находятся 16 шаров, помеченных номерами 1, 2, 3, ..., 16. Наудачу извлечены 5 шаров (без возвращения). Найти вероятность того, что среди извлеченных шаров окажутся шары с номерами 1 и 2.

2.22. Из последовательности целых чисел 1...10 наудачу выбираются 2 числа. Какова вероятность того, что одно из них меньше 6, а другое больше 6?

2.23. Группа из n человек , в том числе А и В, располагается за круглым столом в случайном порядке. Найти вероятность того, что между А и В будет сидеть ровно r человек .

2.24. Из тридцати карточек с буквами русского алфавита наугад выбираются

4 карточки. Какова вероятность, что эти четыре карточки в порядке выхода составят слово "небо"?

2.25. Вычислить вероятность того, что дни рождения всех r (r £ 365) человек различны, предполагая, что в году 365 дней и что все дни рождения одинаково вероятны для каждого человека.

2.26. Трое пассажиров входят в лифт пятиэтажного дома. Какова вероятность того, что двое из них выйдут на одном этаже? Вероятность выхода пассажиров на каждом этаже считается одинаковой.

2.27. Группа из 10 человек садится на скамейку. Какова вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом?

2.28. В ящике содержится 100 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены 4 детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей нет бракованных; нет годных?

2.29. На отдельных карточках выписаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Все девять карточек тщательно перемешаны, после чего наугад берут одну из них, записывают цифру и возвращают карточку назад. Какова вероятность того, что после выписывания четырех цифр получится четное число? число 1234?

2.30. На складе имеется 15 кинескопов, причем 10 из них изготовлены Львовским заводом. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых 5 ки-нескопов окажется 3 кинескопа Львовского завода.

2.31. Слово "Машина" составлено из букв разрезной азбуки. Определить вероятность того, что при произвольном извлечении без возвращения 4 букв в порядке их выхода образуется слово "шина".

2.32. В розыгрыше первенства по баскетболу участвуют 18 команд, среди которых имеется 5 команд экстракласса. Случайным образом формируются 2 группы по 9 команд в каждой. Найти вероятность того, что все команды экстракласса попадут в одну и ту же группу.

2.33. На 9 карточках написаны цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Две из них вынимаются наугад и укладываются на стол в порядке появления, затем читается полученное число, например, 07,14 и т.п. Найти вероятность того, что число будет четное.

2.34. Четыре человека входят в лифт пятиэтажного дома. Какова вероятность, что все они выйдут на разных этажах, если выход пассажира на любом этаже равновозможен ?

2.35. Телефонный номер состоит из 5 цифр. Найти вероятность того, что цифры одинаковы.

2.36. Из шести букв разрезной азбуки составлено слово "ананас". Ребенок,

неумеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось слово "ананас".

2.37. Из колоды в 32 карты берутся наугад 10 карт. Найти вероятность того, что среди них будут 8 карт одной масти.

2.38. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли два человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность того, что оба пассажира выйдут на пятом этаже.

2.39. Колода карт (52 карты) произвольным образом делится пополам. Найти вероятность того, что в каждой половине будет по два туза.

2.40. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна пяти, а произведение четырем.

2.41. Среди 25 деталей, подвергаемых проверке, имеются 15 точных. Какова вероятность того, что из числа взятых наудачу 10 деталей окажется 8 точных?

2.42. Лифт в пятиэтажном доме отправляется с тремя пассажирами. Найти вероятность того, что на каждом этаже выйдет не более одного пассажира, предполагая, что все возможные способы распределения пассажиров по этажам равновероятны.

2.43. Для уменьшения общего количества игр на соревнованиях 16 во-лейбольных команд разбиты на 2 подгруппы (по 8 в каждой). Найти вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся в разных подгруппах, в одной подгруппе?

2.44. Бросаются одновременно две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков кратна 5.

2.45. В шахматном турнире участвуют 20 человек, которые будут распределены по жребию для игры в двух группах по 10 человек. Какова вероятность, что двое наиболее сильных участников турнира будут играть в разных группах?

2.46. В группе из 30 учеников на контрольной работе 6 учеников получили оценку отлично, 10 - оценку хорошо, 9 учеников - оценку удовлетворительно, 5 учеников - оценку неудовлетворительно. Какова вероятность того, что три ученика, вызванные к доске, имеют неудовлетворительную оценку по контрольной работе?

2.47. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 125 кубиков одинакового размера. Все кубики перемешаны. Определить вероятность того, что кубик, извлеченный наудачу, будет иметь три окрашенные грани.

2.48. Слово «керамит» составлено из букв разрезной азбуки. Затем карточки с буквами перемешиваются, из них извлекаются по очереди четыре карточки. Какова вероятность, что эти четыре карточки в порядке выхода составят слово «река»?

2.49. В автобусе 5 пассажиров. Найти вероятность того, что на каждой из оставшихся 5 остановок будет сходить по одному пассажиру. Предполагается, что каждый из пассажиров с равной вероятностью может выйти на любой из остановок.

2.50. Каждая из букв слова "интеграл" написана на одной из восьми карточек. Карточки перемешиваются. Найти вероятность того, что при извлечении трех карточек появится (в порядке их выхода) слово "три".

2.51. Найти вероятность угадывания в "Спортлото" 4-х цифр (всего 49 цифр).

2.52. В квадрат наудачу бросается точка. Найти вероятность того, что она попадет внутрь круга, вписанного в квадрат.

2.53. На 10 из 20 карточек написана цифра “1”, а на остальных 10 - цифра “0”. Пять карточек вынимают наугад. Найти вероятность того, что на двух карточках будет стоять цифра “1”, а на трех - цифра “0” (безразлично в каком порядке).

2.54. В урне «a» белых и «b» черных шаров. Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался белым. После этого из урны берут еще один шар. Найти вероятность того, что этот шар тоже будет белым.

2.55. В урне «a» белых и «b» черных шаров (a ³ 2).Из урны вынимают сразу два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

2.56. Из ящика, содержащего n перенумерованных изделий, наугад вынимают одно за другим находящиеся в нем изделия, каждое изделие после вынимания вкладывается обратно и перемешивается с другим, а его номер записывается. Найти вероятность того, что будет записана естественная последовательность номеров: 1,2..., n.

2.57. В отделение связи поступило 4 телеграммы, всего имеется четыре канала связи. Телеграммы случайным образом распределяются по каналам, каждая телеграмма с одной и той же вероятностью передается по любому из четырех каналов. Найти вероятность того, что на один из каналов попадут три телеграммы, на другой - одна, а два оставшихся канала будут незагружены.

2.58. Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что сумма очков не превышает пяти.

2.59. В отрезке единичной длины наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что расстояние от концов отрезка превосходит величину 1/5.

2.60. Имеются изделия четырех сортов, причем число изделий первого сорта – 1, второго сорта - 2, третьего сорта - 3, четвертого сорта - 4. Для контроля наудачу берут 7 изделий. Определить вероятность того, что среди них одно изделие первосортное, одно - второго сорта, два - третьего и три - четвертого сорта.

Задача № 3.

3.1. Какова вероятность извлечь из колоды в 52 карты фигуру любой масти или карту пиковой масти (фигурой называется валет, дама, король).

3.2. В урне два белых и три черных шара. Два игрока поочередно вынимают из урны по шару, не возвращая их обратно. Выигрывает тот, кто раньше получит белый шар. Найти вероятность того, что выиграет первый игрок.

3.3. Изделия изготавливаются параллельно на двух станках. Вероятность брака на одном станке - 0,04, на втором - 0,08. Определить вероятность того, что из 10 изделий, изготовленных по 5 на каждом станке, ни одного не будет бракованного.

3.4. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех независимых выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность четырех попаданий при четырех выстрелах.

3.5. Разрыв электрической цепи происходит в том случае, когда выходит из строя хотя бы один из трех последовательно соединенных элементов. Определить вероятность того, что не будет разрыва цепи, если элементы выходят из строя с вероятностями 0,3; 0,4; 0,6. Как изменится искомая вероятность, если первый элемент не выходит из строя.

3.6. Из полной колоды (52 карты) вынимают одновременно три карты. Найти вероятность того, что среди вынутых карт найдется хотя бы одна карта красной масти.

3.7. У сборщика имеется 16 деталей, изготовленных заводом № 1 и 4 детали -заводом № 2. Наудачу взяты две детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них окажется изготовленной заводом № 1.

3.8. Испытуемому предлагается два теста. Вероятности решения тестов соответственно равны: 0,75 и 0,8. Определить вероятность того, что хотя бы один тест будет решен (тесты решаются независимо друг от друга).

3.9. Происходит бой между двумя участниками А и В. У стороны А в запасе два выстрела, у стороны В - один. Начинает стрельбу А: он делает по В один выстрел и поражает его с вероятностью 0,2. Если В не поражен, он отвечает противнику выстрелом и поражает его с вероятностью 0,3. Если А этим выстрелом не поражен, то он делает по В свой последний выстрел и поражает его с вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что в бою будет поражен участник А, участник В?

3.10. Радист трижды вызывает корреспондента, причем последующий вызов производится при условии, что предыдущий вызов не принят. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,3; второй 0,4 и третий 0,5.Определить вероятность вызова корреспондента.

3.11. В ящике лежат 10 заклепок, отличающихся друг от друга только материалом: 5 железных, 3 латунных, 2 медных. Наугад берутся две заклепки. Какова вероятность того, что они будут из одного материала.

3.12. В ящике 6 белых и 8 черных шаров. Из ящика вынули два шара (не возвращая вынутый шар в ящик). Найти вероятность того, что оба шара белые.

3.13. Два стрелка произвели по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,7, а вторым 0,6. Найти вероятность того, что хотя бы один из стрелков попал в мишень.

3.14. В студии телевидения имеется три телевизионных камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера.

3.15. На тепловой электростанции 15 сменных инженеров, из которых 3 женщины. В смену занято 3 человека. Найти вероятность того, что в случайно выбранной смене окажется не менее двух мужчин.

3.16. Два лица поочередно бросают монету, выигрывает тот, у кого раньше появится герб. Определить вероятность выигрыша для каждого лица.

3.17. Группа состоит из двух стрелков. Определить вероятность попадания в цель каждым стрелком, если известно, что вероятность совместного попадания в цель при условии, что каждый сделает, независимо друг от друга, по одному выстрелу, равна 0,56, а вероятность совместного промаха 0,06.

3.18. Из полной колоды карт (52 листа) вынимается одна карта. Рассматриваются события: А - появление туза, В - появление карты красной масти. Зависимы или независимы эти события?

3.19. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлены 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 3 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете.

3.20. Прибор состоит из двух дублирующих друг друга элементов. Вероятность безотказной работы первого элемента равна 0,85, второго - 0,72. Определить вероятность безотказной работы прибора.

3.21. Из последовательности чисел 1...20 выбирают наудачу три различных числа. Какова вероятность, что среди выбранных чисел есть хотя бы одно, кратное заданному числу 3 ?

3.22. Вероятность того, что замаскировавшийся противник находится на обстреливаемом участке, равна 0,3, вероятность попадания в этом случае при каждом отдельном выстреле равна 0,2. Для поражения достаточно одного попадания. Какова вероятность поражения при двух выстрелах?

3.23. Найти наименьшее число монет, которое необходимо бросить, чтобы вероятность утверждения, что выпадет хотя бы один герб, превосходила 0,999.

3.24. Две команды по 20 спортсменов производят жеребьевку для присвоения номеров участникам соревнований. Два брата входят в состав различных команд. Найти вероятность того, что братья будут участвовать в соревнованиях под одним и тем же номером "5".

3.25. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу четыре карты. Найти вероятность того, что эти четыре карты будут разных мастей.

3.26. Вероятность того, что каждый из трех друзей придет в условленное место, соответственно равны P₁ = 0,8, P₂= 0,4, P₃ = 0,7. Определить вероятность того, что встреча состоится, если для этого достаточно явиться двум из трех друзей.

3.27. В механизм входит три одинаковые детали. Работа механизма нарушается, если при его сборке будут поставлены все детали с размерами больше обозначенного на чертеже. У сборщика осталось 12 деталей, из которых 5 больших размеров. Найти вероятность нормальной работы первого собранного из этих деталей механизма, если сборщик берет детали наудачу.

3.28. Пусть вероятность попадания в движущуюся цель при одном выстреле постоянна и равна 0,05. Сколько необходимо сделать выстрелов для того, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,75, иметь хотя бы одно попадание?

3.29. Для некоторой местности среднее число пасмурных дней в июле равно 6. Найти вероятность того, что первого и второго июля будет ясная погода.

3.30. В мешке смешаны нити, среди которых 30% белых, а остальные красные. Определить вероятность того, что вынутые наудачу две нити будут одного цвета.

3.31. Вероятность того, что книга имеется в фондах первой библиотеки, рав-

на 0,5, второй - 0,7, третьей - 0,4. Определить вероятность наличия книги в фондах хотя бы одной библиотеки.

3.32. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение смены потребует его внимание первый станок равна 0,7, второй - 0,75, третий - 0,8. Найти вероятность того, что в течение смены потребует внимания рабочего какие-либо два станка.

3.33. Производится три выстрела по одной и той же мишени. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах соответственно равны 0,42; 0,5; 0,8. Найти вероятность того, что в мишени будет хотя бы одна пробоина.

3.34. Машина выходит из строя, если выходит из строя любая из трех независимых деталей. Если вероятности выхода из строя за год работы деталей А, В, С равны соответственно 1/3, 1/4, 1/5, то какова вероятность того, что машина выйдет из строя в течение года?

3.35. Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз в трех независимых испытаниях, равна 0,936. Найти вероятность появления события в одном испытании (предполагается, что во всех испытаниях вероятность появления события одна и та же).

3.36. При увеличении напряжения в два раза может произойти разрыв электрической цепи вследствие выхода из строя одного их трех последовательно соединенных элементов соответственно с вероятностями 0,3; 0,4; 0,5. Определить вероятность того, что не будет разрыва цепи.

3.37. В коробке лежат 30 электрических лампочек одинаковой величины, причем 12 из них рассчитаны на напряжение 220 В, а остальные – 120 В. Какова вероятность того, что из 4-х наудачу взятых одновременно электроламп все окажутся с напряжением 220 В или с напряжением 120 В.

3.38. Вероятность изготовления изделия первого сорта равна 0,9. Сколько должно быть изготовлено изделий, чтобы с вероятностью не меньшей 0,95, можно было бы ожидать, что среди них есть хотя бы одно изделие первого сорта?

3.39. Числитель и знаменатель рациональной дроби написаны наудачу. Какова вероятность того, что эта дробь не сократима на пять?

3.40. Два шарика разбрасываются случайно и независимо друг от друга по четырем ячейкам, расположенным одна за другой по прямой линии. Каждый шарик с одинаковой вероятностью 1/4 попадает в любую ячейку. Найти вероятность того, что шарики попадут в соседние ячейки.

3.41. В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказов 1, 2, 3 элементов соответственно равны P₁ = 0,1; P₂ = 0,15; P₃ = 0,2. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.

3.42. Истребитель перехватывает и первым атакует бомбардировщик противника. Вероятность перехвата равна 0,7. В случае, если перехват состоялся, бомбардировщик сбивается с вероятностью 0,6. Если перехват состоялся, но бомбардировщик не сбит, то ответным огнем он сбивает истребитель с вероятностью 0,3. Найти вероятность поражения бомбардировщика, истребителя.

3.43. Производится стрельба по самолету зажигательными снарядами. Горючее на самолете сосредоточено в четырех баках, расположенных в фюзеляже один за другим. Поверхности баков одинаковы. Чтобы зажечь самолет, достаточно попасть двумя снарядами либо в один и тот же бак, либо в соседние баки. Известно, что в область баков попало два снаряда. Найти вероятность того, что самолет загорится.

3.44. Пусть вероятность оплаты в кассе выписанного у продавца чека равна 0,99. Найти вероятность того, что из 100 выписанных чеков хотя бы один окажется неоплаченным.

3.45. Для некоторой местности среднее число дождливых дней в августе рав-

но 11. Чему равна вероятность того, что первые два дня августа будут дождливыми?

3.46. Вероятность того, что событие А появится хотя бы один раз при двух независимых испытаниях, равна 0,75. Найти вероятность появления события в одном испытании (предполагается, что вероятность появления события в обоих испытаниях одна и та же).

3.47. Электрическая цепь имеет два параллельно соединенных дублирующих друг друга элемента и один элемент, соединенный с ними последовательно. Вероятность безотказной работы каждого элемента в течение заданного времени равна 0,8. Отказ каждого элемента не зависит от отказа других. Определить вероятность безотказной работы всей цепи.

3.48. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле 0.8, а вторым стрелком - 0.6. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком.

3.49. Вероятность попадания бомбы в цель равна 0,4. Бомбардировщик сбрасывает три бомбы. Какова вероятность того, что все бомбы попадут в цель; ни одна не попадет в цель; по крайней мере одна попадет в цель?

3.50. На предприятии брак составляет в среднем 2 % от общего выпуска изделий. Среди годных изделий изделия первый сорт составляют 95 %. Какова вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется первого сорта; если изделие взято из числа прошедших проверку; из общей массы изготовляемой продукции?

3.51. Вероятность того, что студент первого курса перейдет на второй, равна 0,9, а вероятность того, что студент первого курса окончит институт, равна 0,8. Какова вероятность того, что студент второго курса окончит институт?

3.52. Дана система S, состоящая из двух независимых блоков a₁ и a₂. Система исправна тогда и только тогда, когда исправен хотя бы один из блоков: a₁ или a₂ . Надежность каждого блока равна 0,8. Найти надежность системы.

3.53. Три исследователя независимо друг от друга производят измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что первый исследователь допустит ошибку при считывании показаний прибора, равна 0,1. Для второго и третьего исследователей эти вероятности соответственно равны 0,15 и 0,2. Найти вероятность того, что при однократном измерении хотя бы один из исследователей допустит ошибку.

3.54. Партия из 100 деталей подвергается выборочному контролю. Условием непригодности всей партии является наличие хотя бы одной бракованной детали среди пяти проверяемых. Какова вероятность для данной партии быть принятой, если она содержит 5 % неисправных деталей?

3.55. Ведется стрельба по самолету, уязвимыми агрегатами которого являются два двигателя и кабина пилота. Для того чтобы вывести из строя самолет, достаточно поразить два двигателя вместе или кабину пилота. Вероятность поражения первого двигателя равна 0,6, второго двигателя - 0,75, кабины пилота - 0,5. Агрегаты самолета поражаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что самолет будет поражен.

3.56. Какова должна быть вероятность изготовления изделия, удовлетворяющего стандарту, чтобы с вероятностью, равной 0,9, можно было бы утверждать, что среди 20 изготовленных изделий хотя бы одно не удовлетворяет стандарту?

3.57. Вероятность того, что танк наедет на мину, равна 0,4. Какова вероятность того, что танк подорвется на мине, если 15 % мин имеют дефектные взрыватели?

3.58. В пакет сложены 20 одинаковых карточек, пронумерованных по порядку с номера 31 по 50 номер, и тщательно перемешаны. Какова вероятность того, что при взятии наудачу двух карточек (последовательно) номер первой карточки окажется кратным числу 4, а номер второй карточки окажется кратным числу 7?

3.59. Производят кратковременные включения мощного блока питания. Вероятность отказа в каждом опыте одинакова и равна 0,2. Опыты независимы и происходят последовательно до наступления отказа. Определить вероятность того, что придется произвести четвертое включение?

3.60. Экспедиция газеты направила газеты в два почтовых отделения. Вероят-ность своевременной доставки газет в каждое из почтовых отделений равна 0,9. Найти вероятность того, что: а) оба почтовых отделения получат газеты вовремя; б) оба почтовых отделения получат газеты с опозданием; в) одно отделение получит газеты вовремя, а второе - с опозданием.

Задача № 4.

4.1. В ящик, содержащий три детали, брошена стандартная деталь, а затем наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь, если равновероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей первоначально находившихся в ящике.

4.2. Третья часть одной из трех партий деталей является второсортной, остальные детали первого сорта. Определить вероятность того, что деталь была взята из партии, имеющей второсортные детали, если она оказалась первого сорта.

4.3. В первой коробке содержатся 20 радиоламп, из них 18 стандартных, во второй коробке - 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

4.4. Две из трех независимо работающих ламп прибора отказали. Найти вероятность того, что отказали первая и вторая лампы, если вероятности отказа первой, второй и третьей ламп соответственно равны 0,1; 0,2; 0,3.

4.5. Сборщик получил две коробки одинаковых деталей, изготовленных заводом N1 и три коробки, изготовленных заводом N2. Вероятность того, что деталь завода N1 стандартна, равна 0,9, а заводом N2 – 0,7. Из наудачу взятой коробки сборщик извлек деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь.

4.6. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров. Во втором ящике 10 белых и 10 черных шаров. В третьем ящике 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Найти вероятность того, что шар вынут из первого ящика.

4.7. В автобусе едут n пассажиров. На следующей остановке каждый из них выходит с вероятностью P кроме того, в автобусе с вероятностью P₀ не входит ни один новый пассажир, с вероятностью 1-P₀ входит один новый пассажир. Найти вероятность того, что когда автобус снова тронется в путь после следующей остановки, в нем будет по-прежнему n пассажиров. (Предполагается, что более одного пассажира войти не может).

4.8. По линии связи передаются два сигнала A и B соответственно с вероятностями 0,84 и 0,16. Из-за помех 1/6 сигналов A искажается и принимается как B - сигналы, а 1/8 часть переданных B - сигналов принимается как A - сигналы. Известно, что принят сигнал A. Какова вероятность, что он же и был передан?

4.9. Три торпедных катера атакуют авианосец. Каждый катер выпускает по одной торпеде. Вероятность попадания торпеды в авианосец равна 0,7. Потопление авианосца при попадании трех торпед происходит с вероятностью 0,9, двух торпед - с вероятностью 0,6 и одной торпеды - с вероятностью 0,2. Определить вероятность потопления корабля.

4.10. Два стрелка поочередно стреляют в мишень. Вероятности попадания равны соответственно 0,4 и 0,5, а вероятности попадания при последующих выстрелах для каждого увеличиваются на 0,05. Какова вероятность, что первым произвел выстрел первый стрелок, если при пятом выстреле произошло попадание в мишень?

4.11. Среди поступающих на сборку деталей с первого автомата 0,1 % бракованных, со второго - 0,2 %, с третьего - 0,25 %, с четвертого - 0,5 %. Производительности их относятся как 4 : 3 : 2 : 1. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она изготовлена на первом; втором; третьем; четвертом автоматах. Как проверить правильность вычислений?

4.12. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму равна: у двух лыжников 0,9, велосипедиста 0,8 и для бегуна 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, названный наудачу, выполнит норму.

4.13. На трех автоматических линиях изготавливаются одинаковые детали. Первая линия дает 70 %, вторая - 20% и третья - 10% всей продукции. Вероятности получения бракованной продукции на каждой линии соответственно равны 0,02; 0,01; 0,05. Взятая наудачу деталь оказалась бракованной. Определить вероятность того, что деталь была изготовлена на первой линии.

4.14. Из полного набора костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую извлеченную наудачу кость можно будет приставить к первой.

4.15. Имеется 4 партии деталей. В первой партии – 3 % брака, во второй – 4 %, в третьей и четвертой брака нет. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь принадлежит первой партии, если она оказалась бракованной?

4.16. При разрыве снаряда образуется 10 % крупных осколков, 60 % средних и 30 % мелких. Вероятность пробивания брони крупным осколком равна 0,7, средним - 0,2 и мелким - 0,05. Известно, что в броню попал один осколок. Определить вероятность того, что броня пробита.

4.17. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых, во второй урне 30 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

4.18. По самолету производятся три независимых выстрела снарядами со взрывателями ударного действия. Вероятность попадания в самолет равна 0,6. При одном попадании самолет поражается с вероятностью 0,4; при двух – 0,7 и при трех - с вероятностью 0,9. Определить вероятность поражения самолета.

4.19. Из урны, в которой было m  3 белых шаров и n черных, потеряли шар неизвестного цвета. Для того, чтобы определить состав шаров в урне, из нее наудачу были вынуты два шара. Найти вероятность того, что был потерян белый шар, если известно, что вынутые шары оказались белыми.

4.20. Имеются две урны первой группы, три урны второй группы и пять урн третьей группы. Урны внешне не отличаются одна от другой. В каждой урне первой группы имеется 1 белый и 4 черных шара, в каждой урне второй группы - 5 белых и 3 черных шара, в урне третьей группы - 6 белых и 9 черных шаров. Наугад берут одну из урн и из нее вынимают шар. Какова вероятность, что вынутый шар окажется белым? Если шар белый, то какова вероятность, что он вынут из урны первой группы.

4.21. Производится 5 независимых выстрелов зажигательными снарядами по резервуару с горючим. Каждый снаряд попадает в резервуар с вероятностью 0,7. Если в резервуар попал один снаряд, горючее воспламеняется с вероятностью 0,4, если два снаряда - с полной достоверностью. Найти вероятность того, что при 5 выстрелах горючее воспламенится.

4.22. Известно, что в партии из 600 электрических лампочек 200 лампочек изготовлены на заводе № 1, 250 на заводе № 2 и 150 на заводе № 3. Известны также вероятности 0,97; 0,91; 0,93 того, что лампочка окажется стандартного качества при изготовлении ее соответственно заводами № 1, № 2, № 3. Какова вероятность, что наудачу выбранная из данной партии лампочка окажется стандартной?

4.23. Имеются 10 урн с шарами: три урны содержат каждая 15 белых, 5 черных и 10 красных шаров; две урны содержат по 10 белых, 5 черных и 5 красных шаров и пять урн - по 12 белых, 5 черных и 3 красных шара. Производится извлечение одного шара. Определить вероятность того, что шар был извлечен из первых трех урн, если он оказался белым.

4.24. Стрелковое отделение получило 10 винтовок, из которых семь пристрелянных и 3 непристрелянных. Вероятность попадания в цель из пристре-лянной винтовки составляет 0,8, а из непристрелянной (при тех же условиях) - 0,4. Какова вероятность того, что стрелок, взяв наудачу винтовку и сделав из нее один выстрел, попадает в цель?

4.25. Два орудия открыли стрельбу по наступающему танку. Стрельба ведется поочередно, с темпом 10 секунд выстрел. Вероятность попадания в танк при открытии огня из первого орудия равна 0,4, из второго - 0,5. За каждые 10 секунд вероятность попадания увеличивается на 0,05. После трех выстрелов обнаружено, что танк получил одну пробоину, но неизвестно при каком выстреле. Какова вероятность того, что первым открыло огонь первое орудие?

4.26. Стрелок A поражает мишень при некоторых условиях стрельбы с вероятностью P₁ = 0,6, стрелок B - с вероятностью P₂ = 0,5 и стрелок C - с вероятностью P₃ = 0,4. Стрелки дали залп по мишени и две пули попали в цель. Что вероятнее: попал C в мишень или нет?

4.27. В пирамиде установлены 5 винтовок, из которых 3 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки без оптического прицела, равна 0,7, для винтовки с оптическим прицелом эта вероятность равна 0,96. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет выстрел из наудачу взятой винтовки.

4.28. Первое орудие 4-х орудийной батареи пристреляно так, что вероятность попадания равна 0,3, остальным трем орудиям соответствует вероятность попадания 0,2. Для поражения цели достаточно одного попадания. Два орудия произвели одновременно по выстрелу, в результате чего цель была поражена. Какова вероятность того, что первое орудие отстреляло?

4.29. Стрельба производится по пяти мишеням типа A, трем - типа B и двум -типа C. Вероятность попадания в мишень типа A равна 0,4, типа B - 0,1,

типа C - 0,15. Найти вероятность поражения мишени при одном выстреле, если неизвестно, в мишень какого типа будет сделан выстрел.

4.30. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины возникает сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.

4.31. Имеются три одинаковые урны. В первой урне находятся 4 белых и 2 черных шара, во второй - 3 белых и 3 черных шара и в третьей - 1 белый и 5 черных шаров. Из второй и третьей урны, не глядя, перекладывают по одному шару в первую урну. Шары в первой урне перемешивают и из нее наугад извлекают два шара. Найти вероятность того, что они белые.

4.32. В группе 40 стрелков, из них 10 человек стреляют отлично, 20 - хорошо, 6 - удовлетворительно, 4 - плохо. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для отлично стреляющего стрелка равна 0,9, для хорошо - 0,8, для удовлетворительно - 0,6 и для плохо - 0,4. На линию огня вызывают наугад одного из стрелков. Он производит один выстрел. Найти вероятность того, что стрелок попадет в цель.

4.33. Конденсаторы поставляются тремя заводами, причем вероятность того, что данное изделие изготовлено на первом заводе, равна 1/5, на втором - 3/10 и на третьем - 1/2. Вероятность того, что при определенных условиях работы конденсатор сохранит работоспособность в течение времени Т, для первого, второго и третьего заводов соответственно равны 0,9; 0,92; 0,8. Чему равна вероятность того, что наудачу взятый конденсатор из имеющегося запаса сохранит работоспособность в течение времени Т. Известно, что конденсатор не выдержал установленного срока работы, и отказал. Какова вероятность того, что он был с первого завода?

4.34. Станок одну треть своего времени обрабатывает деталь А и две трети -деталь В. При обработке детали А он простаивает 10 % времени, а детали В – 15 %. Какова вероятность застать станок простаивающим?

4.35. Для сигнализации о том, что режим работы автоматической линии станков отклоняется от нормального, используется индикатор, принадлежащий с вероятностью 0,2; 0,3; 0,5 к одному из трех типов, для которых вероятности срабатывания при нарушении нормальной работы линии соответственно равны 1; 0,75; 0,4. От индикатора получен сигнал. К какому типу вероятнее всего принадлежит индикатор?

4.36. Имеются две одинаковые урны. В первой урне находятся 3 белых и 5 черных шаров, во второй 3 белых и 7 черных шаров. Из одной наугад выбранной урны извлекается один шар. Определить вероятность того, что шар черный.

4.37. Надежность (вероятность безотказной работы в течение заданного времени) каждого двигателя трехмоторного бомбардировщика равняется 0,8. При отказе двух двигателей вероятность благополучной посадки равняется 0,5, при отказе всех двигателей эта вероятность снижается до 0,3. Найти вероятность благополучной посадки бомбардировщика, если при двух и более работающих двигателях благополучная посадка производится наверняка.

4.38. По каналу связи может быть передан код 1111 с вероятностью 0,2, код 0000 с вероятностью 0,3 и код 1001 с вероятностью 0,5. Вследствие влияния помех вероятность правильного приема каждой цифры (0 или 1) кода равна 0,9, причем цифры искажаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что передан код 1111, если на приемном устройстве код 1011.

4.39. Из урны, в которой имеется 4 черных и 6 белых шаров, потерян шар неизвестного цвета. Для того чтобы определить состав шаров в урне, из нее извлекли наудачу 2 шара. Они оказались белыми. Найти вероятность того, что был утерян белый шар. Решить эту задачу при условии, что были извлечены не два белых, а два черных шара.

4.40. В ящике содержится 12 деталей завода № 1, 20 деталей завода № 2,

18 деталей завода № 3. Вероятность того, что деталь завода № 1 отличного качества, равна 0,9, для деталей заводов № 2 и № 3 эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.

4.41. В двух одинаковых урнах имеется по n шаров белых и m черных шаров. Из первой урны во вторую перекладывают один шар. Во второй урне шары перемешиваются и один шар перекладывают в первую урну. Затем из первой урны извлекают один шар. Определить вероятность того, что шар белый.

4.42. Три торпедных катера атакуют авианосец. Каждый катер выпускает по одной торпеде. Вероятность попадания торпеды в авианосец равна 0,7. Потопление авианосца при попадании трех торпед происходит с вероятностью 0,9, двух торпед - с вероятностью 0,6 и одной торпеды - с вероятностью 0,2. Определить вероятность того, что потопление корабля произошло в результате попадания в корабль двух торпед.

4.43. После предварительного контроля деталь проходит одну из трех операций обработки с вероятностью 0,25; 0,35; 0,40. Вероятность получения брака на первой операции равна 0,02, на второй - 0,04, на третьей - 0,05. Найти вероятность получения небракованной детали после обработки.

4.44. Вероятность попадания снаряда в башню танка при одном выстреле равна - 0,2, в корпус - 0,6 и в гусеницу - 0,1. При попадании снаряда в башню танк поражается с вероятностью 0,3, в корпус - с вероятностью 0,1 и в гусеницу - с вероятностью 0,4. Одним выстрелом танк был поражен. Определить вероятность того, что снаряд попал в башню; в корпус; в гусеницу.

4.45. Узлы подвески поступают на общий конвейер с двух участков. Вероятность брака узла с первого участка 0,05, со второго - 0,1. Второй участок имеет производительность в 2,5 раза больше, чем первый. Рабочий взял с конвейера подвеску и она оказалась годной. Какова вероятность того, что этот узел изготовлен на первом участке?

4.46. В двух ящиках лежат однотипные детали: в первом ящике 8 исправных и 2 бракованные, во втором - 6 исправных и 4 бракованные. Из первого ящика наудачу взяты 2 детали, а из второго - 1 деталь. Детали, перемешав, поместили в третий ящик, откуда наугад взяли одну деталь. Определить вероятность того, что эта деталь исправна.

4.47. Имеются две одинаковые урны. В первой урне находятся 3 белых и 5 черных шаров, во второй - 3 белых и 7 черных шаров. Из одной наугад выбранной урны извлекается один шар. Он оказывается черным. Какова вероятность того, что он извлечен из первой урны?

4.48. У рыбака имеются три излюбленных места для ловли рыбы, каждое из которых он посещает с равной вероятностью каждое. Если он закидывает удочку на первом месте, рыба клюет с вероятностью 0.6, на втором месте - с вероятностью 0,45, на третьем - с вероятностью 0,4. Известно, что рыбак выйдя на ловлю рыбы, три раза закинул удочку, и рыба клюнула только один раз. Найти вероятность того, что он удил рыбу на первом месте.

4.49. В ящике имелось 10 деталей первого сорта и 15 деталей второго сорта. Из ящика утеряны две детали, сорт которых неизвестен. Для определения сорта потерянных деталей из ящика наудачу извлекли две детали, которые оказались второго сорта. Определить вероятность того, что были утеряны детали второго сорта.

4.50. В шкафу стоят однотипные приборы, из которых “a” новых и “b” уже бывших в эксплуатации (а  2, b  2). Выбираются наугад два прибора и эксплуатируются в течение какого-то времени, после чего возвращаются в шкаф. Затем вторично выбирают наугад два прибора. Найти вероятность того, что оба вторично выбранных прибора будут новыми.

4.51. Три самолета-штурмовика ведут огонь по наземной мишени, ориентируясь на команду "огонь", подаваемую с командного пункта. Вероятности попадания для каждого из самолетов равны соответственно 0,2; 0,4; 0,6. Команда "огонь" подается в два раза чаще первому самолету, чем второму и третьему в отдельности. Найти вероятность того, что мишень окажется непораженной.

4.52. Попадание случайной точки в любую часть области S пропорционально площади этой части, а область S состоит из четырех частей, составляющих соответственно 50 %, 30 %, 12 % и 8 % всей области. При испытании имело место событие A, которое происходит только при попадании случайной точки в одну из этих частей с вероятностями, соответственно 0,01; 0,05; 0,2 и 0,5. В какую из частей области вернее всего произошло попадание?

4.53. На вход радиолокационного устройства с вероятностью “P” поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью (1-P) - только одна помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то устройство регистрирует наличие какого-то сигнала с вероятностью P₁, если только помеха - с вероятностью P₂. Известно, что устройство зарегистрировало наличие какого-то сигнала. Найти вероятность того, что в его составе имеется полезный сигнал.

4.54. Группа студентов состоит из “a” отличников, “b” хорошо успевающих студентов и “c” занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку.

4.55. Производится один выстрел по плоскости, на которой расположены две цели: 1 и 2. Вероятность попадания в цель 1 равна P₁, в цель (2 - P₂). После выстрела получено известие, что попадание в цель 1 не произошло. Какова теперь вероятность того, что произошло попадание в цель 2?

4.56. Расследуются причины авиационной катастрофы, о которых можно сделать четыре гипотезы: H₁, H₂, H₃, H₄. Согласно, статистике, . Обнаружено, что в ходе катастрофы произошло воспламенение горючего, причем вероятности воспламенения горючего по каждой из четырех гипотез, согласно той же статистике, соответственно равны 0,9; 0; 0,2; 0,3. Найти апостериорные вероятности гипотез.

4.57. Объект, за которым ведется наблюдение, может находиться в одном из двух состояний: Н₁ и Н₂. Априорные вероятности этих состояний . Имеются два источника информации, которые дают разноречивые сведения о состоянии объекта: первый источник сообщает, что объект в состоянии Н₁ , второй - в состоянии Н₂. Первый источник вообще дает правильные сведения о состоянии наблюдаемого объекта в 90 % случаев и только в 10 % ошибается. Второй источник менее надежен: он сообщает правильные сведения в 70 % случаев, а в 30 % ошибается. На основе анализа донесений найти новые (апостериорные) вероятности состояний Н₁ и Н₂.

4.58. Три стрелка готовятся к выстрелу. Каждый раз вызывается только один стрелок. Вероятность вызова на рубеж первого стрелка составляет 0,3, второго - 0,5 и третьего - 0,2, а вероятности попадания соответственно 0,4; 0,3; 0,5. Для уничтожения цели достаточно одного попадания. Какова вероятность того, что цель окажется непораженной?

4.59. Передаваемое сообщение закодировано таким образом, что 1 соответствует передаваемое "тире", а 0 - "точка". На линию связи накладываются помехи таким образом, что искажаются 2/5 сообщений "точка" и 2/3 сообщений "тире". Известно, что "точки" и "тире" встречаются в отношении 5:3. Определить вероятность того, что принят передаваемый сигнал, если принят сигнал "точка".

4.60. Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями где . Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов, равны для этих партий соответственно 0,1; 0,2; 0,4. Определить вероятность того, что лампа проработает заданное число часов.

Задача № 5.

5.1. Средний процент нарушения работы кинескопа телевизора в течение гарантийного срока равен 12. Вычислить вероятность того, что из 46 наблюдаемых телевизоров не менее 36 выдержат гарантийный срок.

5.2. Агрегат содержит 5000 деталей. Вероятность отказа детали за время работы агрегата равна 0,001. Найти вероятность того, что за время работы агрегата откажет более чем одна деталь. Предполагается взаимная независимость отказов.

5.3. Из 150 изделий, среди которых 50 штук первого сорта, отбирается 6 по схеме возвращенного шара. Найти вероятность того, что первосортная деталь появится 5 раз.

5.4. Вероятность своевременного прибытия каждого поезда дальнего следования равна 0,95. Найти вероятность того, что из пяти последовательно прибывающих поездов, четыре прибудут без опоздания.

5.5. Вероятность выхода из строя за некоторое время T одного конденсатора равна 0,2. Определить вероятность того, что из 100 конденсаторов в течение времени T выйдет из строя не более 20 конденсаторов.

5.6. Вероятность того, что расход электроэнергии на протяжении одних суток не превысит установленной нормы, равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

5.7. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,4. Найти вероятность того, что цель будет поражена от 200 до 250 раз в серии из 600 выстрелов.

5.8. В цехе имеется 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент: а) включено 4 мотора, б) включены все моторы, в) выключены все моторы.

5.9. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 10 выстрелах стрелок поразил мишень 8 раз.

5.10. Прядильщица обслуживает 100 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет в 5 веретенах.

5.11. Пусть вероятность того, что денежный приемник автомата при опускании одной монеты сработает неправильно, равна 0,03. Найти наивероятнейшее число случаев правильной работы автомата, если всего будет опущено 150 монет.

5.12. Испытание заключается в бросании трех игральных костей. Найти вероятность того, что в пяти независимых испытаниях ровно два раза выпадает по три единицы.

5.13. Игральную кость бросают 180 раз. Сколько раз, вероятнее всего, выпадет простое число очков?

5.14. В мастерской имеется 12 моторов. При существующем режиме работы вероятность того, что мотор в данный момент работает с полной нагрузкой, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент не менее 10 моторов работает с полной нагрузкой.

5.15. Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится не менее 1470 раз.

5.16. Телеграфная станция принимает цифровой текст. В силу наличия помех вероятность ошибочного приема любой цифры не изменяется в течение всего приема и равна 0,01. Считая приемы отдельных цифр независимыми событиями, найти вероятность того, что в тексте, содержащем 1100 цифр: а) будет ровно 7 ошибок; б) число неверно принятых цифр будет меньше 20.

5.17. Проводится соревнование по стрельбе из охотничьих ружей по летящим тарелочкам. Для каждого стрелка пускается 50 тарелочек. Вероятности попадания в тарелочку равны: для первого стрелка 0,9, для второго 0,95 и для третьего 0,85. Определить наиболее вероятное число тарелочек, пораженных каждым стрелком.

5.18. В цехе имеется 125 станков, работающих независимо друг от друга. Каждый станок оказывается включенным 0,85 всего рабочего времени. Какова вероятность того, что в некоторый момент времени окажутся включенными не менее 100 станков?

5.19. При вращении антенны радиолокатора за время облучения точечной цели от нее успевает отразиться 5 импульсов. Найти вероятность обнаружения цели за один оборот антенны, если для этого необходимо получить не менее трех отраженных импульсов. Вероятность подавления импульса помехой равна 0,2. Подавление импульсов помехами происходит независимо друг от друга.

5.20. Сколько следует провести повторных независимых испытаний, чтобы наивероятнейшее число появлений некоторого события оказалось равным 51, если вероятность появления этого события в отдельном испытании P =0,64?

5.21. Вероятность поражения цели стрелком при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность, что при 100 выстрелах стрелок поразит мишень не менее 60 раз и не более 90 раз.

5.22. Число коротких волокон в партии хлопка составляет 25 % всего количества волокон. Сколько волокон должно быть в отдельно взятом пучке, если наивероятнейшее число коротких волокон в нем равно 114?

5.23. На факультете 730 студентов. Вероятность рождения каждого студента в один день равна 1/365. Найти наиболее вероятное число студентов, родившихся 1 января и вероятность того, что найдутся три студента с одним и тем же днем рождения.

5.24. Найти вероятность того, что в партии из 800 изделий число изделий высшего сорта заключено между 600 и 700, если вероятность того, что отдельное изделие будет высшего сорта, равна 0,62.

5.25. Завод выпускает 50 % изделий первым сортом и, не сортируя, упаковывает все изделия в коробки по 8 штук изделий в каждой. Учитывая, что упакованные изделия отобраны случайно, вычислить вероятность того, что в коробке будет: а) изделий первого сорта три штуки; б) изделий первого сорта не менее 3 штук и не более 5.

5.26. Найти наивероятнейшее число наступления ясных дней в течение первой декады сентября, если по данным многолетних наблюдений известно, что в сентябре в среднем бывает 11 ненастных дней.

5.27. В ОТК поступила партия изделий. Вероятность того, что наудачу взятое изделие стандартного типа, равна 0,9. Найти вероятность того, что из 100 проверенных изделий окажется стандартных не менее 84.

5.28. При приемочном контроле изделий из партии в 1000 штук производится безвозвратная выборка 50 штук. Найти вероятность того, что в выборке не окажется дефектных изделий. Сравнить точное значение этой вероятности с приближенным, найденным по формуле Пуассона.

5.29. В квадрат 0 < x < 1, 0 < y < 1 наудачу 5 раз брошена точка. Полагая, что все бросания независимы, найти вероятность того, что точка окажется под кривой ровно 3 раза.

5.30. Вероятность изготовления стандартной детали на автомате равна 0,95. Изготовлена партия в 200 деталей. Найти наиболее вероятное число нестандартных деталей в этой партии. Найти вероятность этого количества нестандартных деталей.

5.31. Десять рабочих время от времени используют энергию. В любой момент времени каждому рабочему с одной и той же вероятностью может потребоваться единица энергии, причем рабочий потребляет энергию в среднем 12 минут в течение часа. Известно, что рабочие используют электроэнергию независимо друг от друга. Найти вероятность перегрузки, если снабжение рассчитано на 6 единиц энергии.

5.32. Сколько изюмин должны содержать в среднем сдобные булочки для того, чтобы вероятность иметь хотя бы одну изюмину в булочке была не

менее 0,99? При этом предполагается, что распределение вероятности числа изюмин в булочке пуассоновское.

5.33. Вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости (брак) равна 0,02. Сверла укладываются в коробки по 100 штук. Найти вероятность того, что:

а) в коробке не окажется бракованных сверл; б) число бракованных сверл окажется не более 3-х.

5.34. На базе имеется 12 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,8. Найти вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 8 автомашин.

5.35. В некоторых районах летом в среднем 20 % дней бывают дождливыми. Какова вероятность того, что в течение одной летней недели число дождливых дней будет не более четырех?

5.36. Аппаратура содержит 2000 одинаково надежных элементов, вероятность отказа для каждого из которых равна Р = 0,0005. Какова вероятность отказа аппаратуры, если не надежен хотя бы один элемент?

5.37. В каждом из четырех ящиков по 5 белых и по 15 черных шаров. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность вынуть два белых и два черных шара?

5.38. В течение часа коммутатор получает в среднем 60 вызовов. Какова вероятность того, что за время 30 с., в течение которых телефонистка отлучилась, не будет ни одного вызова?

5.39. Фабрика выпускает 75 % продукции первого сорта. Чему равна вероятность того, что из 300 изделий число первосортных заключено между 219 и 234?

5.40. Торговая база получила 10000 электрических лампочек. Вероятность повреждения электрических лампочек в пути 0,0001. Определить вероятность того, что в пути повреждено 4 электрические лампочки.

5.41. Среди вырабатываемых деталей бывает в среднем 4 % брака. Какова вероятность того, что среди взятых на испытание 5 деталей будет 40 % бракованных?

5.42. Радиоаппаратура состоит из 1000 электроэлементов. Вероятность отказа одного элемента в течение года работы равна 0,001 и не зависит от состояния других элементов . Какова вероятность отказа 2-х и не менее 2-х элементов за год?

5.43. Вероятность того, что лампа останется исправной после 1000 часов работы, равна 0,2. Какова вероятность того, что хотя бы одна из трех ламп останется исправной после 1000 часов работы?

5.44. Вероятность производства стандартной детали в некоторых условиях равна 0,98. Найти наивероятнейшее число стандартных среди 625 деталей.

5.45. Товаровед осматривает 24 образца товаров. Вероятность того, что каждый из образцов будет признан годным к продаже, равна 0,6. Найти наивероятнейшее число образцов, которое товаровед признает годным к продаже.

5.46. При штамповке металлических клемм получается в среднем 90 % годных. Найти вероятность наличия от 790 до 820 (включительно) годных в партии из 900 клемм.

5.47. Производится 21 выстрел по цели, вероятность попадания в которую при одном выстреле равна 0,25. Найти наивероятнейшее число попаданий в цель. Найти вероятность наивероятнейшего числа попаданий в цель.

5.48. Если в среднем левши составляют 1 % , каковы шансы на то, что среди 200 человек: а) окажется ровно четверо левшей; б) найдется четверо левшей?

5.49. Сколько раз необходимо бросить игральную кость, чтобы с вероятностью не менее 0,85 можно было ожидать появления хотя бы одной шестерки.

5.50. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Производится 100 выстрелов. Какова вероятность числа попаданий: а) не менее 20; б) не больше 75; в) от 45 до 75?

5.51. Вероятность приема отдельного радиосигнала равна 0,15. Прием ведется в течение времени, за которое радиосигнал подается 10 раз. Найти вероятность того, что принятых радиосигналов будет не менее 2 и не более 8.

5.52. Каждая деталь, изготовленная на станке-автомате, с вероятностью 0,05 оказывается бракованной. Найти вероятность того, что среди четырех взятых наугад деталей окажется не менее двух бракованных.

5.53. Для поражения цели достаточно одного попадания. Найти вероятность поражения цели, если предполагается произвести 12 независимых выстрелов с вероятностью попадания в цель 0,1 при каждом выстреле.

5.54. Транзисторный приемник смонтирован на 9 полупроводниках, для которых вероятность брака равна 0,05. Найти вероятность того, что радиоприемник будет неработоспособным, если он выходит из строя при наличии в нем не менее двух бракованных полупроводников.

5.55. Некоторое сообщение состоит из 12 символов: каждый символ представляет собой либо нуль, либо единицу. Вероятность появления нуля и единицы одинаковы и равны 0,5. Найти вероятность того, что нулей в сообщении будет не менее 4 и не более 8.

5.56. Школьники посадили на пришкольном участке 500 деревьев. В данных условиях вероятность того, что каждое дерево приживется, равна 0,6. Какое количество прижившихся деревьев наиболее вероятно?

5.57. Из семян данного растения обычно всходит 80 %. Найти вероятность прорастания 425 семян из 500 посаженных.

5.58. При автоматической прессовке карболитных болванок 2/3 из их общего числа не имеют зазубрин. Найти вероятность того, что из 450 взятых наудачу болванок число болванок без зазубрин заключено между 280 и 320.

5.59. На заводе вероятность того, что рабочий окончил среднюю школу, равна 5/7. В некоторой бригаде 6 рабочих. Каково наиболее вероятное число рабочих этой бригады, имеющих среднее образование?

5.60. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету составляет 0,02. Определить вероятность выигрыша (хотя бы одного) на четыре билета.

Задача № 6.

6.1. Найти закон распределения дискретной случайной величины Х, которая может принимать только два значения: с вероятностью Р₁ = 0,1 и , причем . Математическое ожидание М[X] = 5,8, дисперсия D[X] = 0,36.

6.2. Найти математическое ожидание суммы очков, выпадающих на двух игральных кубиках при одном бросании.

6.3. Случайная величина X - число попаданий мяча в корзину при одном броске. Вероятность попадания равна 0,3. Найти математическое ожидание этой случайной величины, дисперсию, второй начальный момент и третий центральный момент.

6.4. Производится ряд выстрелов по мишени с вероятностью попадания 0,8 при каждом выстреле, стрельба ведется до первого попадания в мишень, но не свыше четырех выстрелов. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа произведенных выстрелов. Построить функцию распределения, определить вероятность того, что число выстрелов до первого попадания будет не менее трех.

6.5. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: , а также даны математические ожидания этой случайной величины и ее квадрата . Найти вероятности P₁, P₂, P₃, соответствующие возможным значениям .

6.6. Известно, что в партии из 20 телефонных аппаратов имеется 5 неисправных. Из партии выбрано 4 аппарата. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа неисправных аппаратов среди отобранных. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что число неисправных аппаратов среди отобранных будет не более двух.

6.7. Вероятность изготовления нестандартного изделия при налаженном технологическом процессе постоянна и равна 0,1. Для проверки качества изготовляемых изделий отдел технического контроля берет из партии не более 4-х деталей. При обнаружении нестандартного изделия вся партия задерживается. Составить закон распределения числа изделий, проверяемых из каждой партии. Найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

6.8. Случайная величина Х распределена по следующему закону:

X	-1	0	1
P	0,2	0,3	0,5

Найти и .

6.9. Вероятность того, что стрелок попадает в мишень при одном выстреле, равна 0,6. Стрелку последовательно выдаются патроны до тех пор, пока не промахнется, но не более 5 патронов. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа выданных патронов. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что число выданных патронов будет не менее трех.

6.10. Испытуемый прибор состоит из трех малонадежных элементов. Отказы элементов за некоторое время Т независимы, а их вероятности равны соответственно Найти закон распределения, мате-матическое ожидание числа отказавших за время Т элементов. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что число отказавших элементов будет не менее двух.

6.11. Производится набрасывание колец на колышек до первого попадания, либо до полного израсходования всех колец, число которых равно 5. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа брошенных колец,

если вероятность наброса каждого кольца равна 0,2. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что число брошенных колец не менее четырех.

6.12. Число -частиц, достигающих счетчика в некотором опыте, является случайной величиной, распределенной по следующему закону:

X	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
P	0,021	0,081	0,156	0,201	0,195	0,151	0,097	0,054	0,026	0,011	0,007

Найти математическое ожидание и дисперсию числа частиц, достигающих счетчика. Найти вероятность того, что число частиц, достигающих счетчика, будет не меньше четырех.

6.13. Экзаменатор задает студенту дополнительные вопросы. Вероятность того, что студент ответит на любой заданный вопрос, равна 0,9. Преподаватель прекращает экзамен, как только студент обнаружит незнание заданного вопроса. Требуется: а) составить закон распределения дискретной случайной величины Х -числа дополнительных вопросов, которые задает преподаватель студенту; б) най-

ти наивероятнейшее число заданных дополнительных вопросов.

6.14. Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения: с вероятностью P₁ = 0,5, x₂ = 6 с вероятностью P₃ = 0,3 и x₃ с вероятностью P₃. Найти x₃ и P₃ , зная, что М[X] = 8.

6.15. Рассматривая неслучайную величину "a", как частный вид случайной, построить для нее функцию распределения, найти ее математическое ожидание, дисперсию и третий начальный момент.

6.16. Вычислительное устройство состоит из трех независимо функциони-рующих блоков. Вероятность безотказной работы первого блока равняется 0,8, второго 0,7 и третьего 0,6. Найти математические ожидания:

а) числа исправных блоков; б) числа неисправных блоков.

6.17. На пути движения автомашины 4 светофора, каждый из них либо разрешает, либо запрещает движение с вероятностью 0,5. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа пройденных автомашиной светофоров до первой остановки. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что число пройденных светофоров будет не менее двух.

6.18. Мишень состоит из круга и кольца. Попадание в круг дает 10 очков, а попадание в кольцо 5 очков. Вероятность попадания в круг и кольцо соответственно равны 0,6 и 0,4. Построить закон распределения для случайной суммы выбитых очков в результате двух попаданий.

6.19. На полке 10 книг, причем 3 из них в переплете. Библиотекарь взял наудачу 2 книги. Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины Х - числа отобранных книг в переплете.

6.20. В ящике 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 3 детали. Составить закон распределения случайной величины Х - числа окрашенных деталей среди трех извлеченных. Найти функцию распределения и построить ее график.

6.21. Два стрелка стреляют каждый по своей мишени, делая независимо друг от друга по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка Р₁, для второго Р₂. Рассматриваются две случайные величины: Х₁ - число попаданий первого стрелка, Х₂ - число попаданий второго стрелка и их разность Z = X₁ – X₂ . Построить ряд распределения случайной величины Z и найти ее характеристики: m_z, D_{z .}

6.22. Производится ряд попыток включить двигатель. Каждая попытка заканчивается успехом (включением двигателя) независимо от других с вероятностью P = 0,6. Каждая попытка занимает время . Найти распределение общего времени T, которое потребуется для запуска двигателя, его математическое ожидание и дисперсию.

6.23. Распределение дискретной случайной величины X есть

Х 1 3 5 7 9

Р 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1

Найти распределение случайной величины

6.24. В шестиламповом радиоприемнике (все лампы различные) перегорела одна лампа. С целью устранения неисправности наудачу выбранную лампу заменяют заведомо годной из запасного комплекта, после чего сразу проверяется работа приемника. Составить закон распределения числа замен ламп.

6.25. Имеется 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения числа попыток при открывании замка, если испробованный ключ в последующих попытках: а) не участвует; б) участвует.

6.26. В лотерее разыгрывается мотоцикл стоимостью 250 р., велосипед стоимостью 50 р. и часы за 40 р. Найти математическое ожидание выигрыша для лица, имеющего: а) 1 билет; б) 2 билета, если общее число билетов равно 100.

6.27. Из ящика, содержащего 2 белых и 4 черных шара, вынимают 3 шара и перекладывают в другой ящик, где имелось 5 белых шаров. Найти математическое ожидание числа белых шаров Х₁ и Х₂ в обоих ящиках.

6.28. В урне 4 белых и 5 черных шаров. Из урны наудачу один за другим без возвращения извлекают шары до тех пор, пока не появится черный шар. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа появившихся при извлечении белых шаров. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что число белых шаров будет не менее трех.

6.29. В партии из 7 деталей имеется 5 деталей первого сорта. Наудачу отобраны 3 детали. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа деталей первого сорта среди отобранных. Определить вероятность того, что число деталей первого сорта будет не менее двух.

6.30. Вероятность попадания в цель из орудия при первом выстреле равна 0,1, при втором выстреле равна 0,4, при третьем - 0,7. Предполагается произвести три выстрела. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа попаданий в цель. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что число попаданий не менее трех.

Задача № 7.

7.1. Дана функция распределения случайной величины X:

Найти вероятность попадания случайной величины X в интервал и показать эту вероятность на графиках плотности и функции распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию.

7.2. График плотности распределения непрерывной случайной величины X имеет вид

f(x)

Найти функции f(x) и F(х).

Вычислить М[Х].

x

^{-2 0 4}

7.3. График плотности распределения непрерывной случайной величины X имеет вид

f(x) Найти математическое ожидание,

дисперсию и среднее квадрати-

ческое отклонение.

^{0 2} x

7.4.Случайная величина X задана плотностью распределения Найти коэффициент A . Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X. Найти функцию распределения и вероятность того, что значения случайной величины будут находиться в интервале (0; ).