Индуктивное расширение функции / INDTXT99
.rtf
Индуктивные
функции
З А Д А Ч И
на тему
"Индуктивные функции на пространстве последовательностей"
В приведенных ниже задачах указана функция f, значение которой
надо вычислить. Требуется определить, является ли эта функция индук-
тивной. Если да - выписать функцию G(*,*), если нет - придумать индук-
тивное расширение и выписать G для него.
Написать на языке Паскаль программу вычисления указанной функции
f(w), считая, что w - это состояние последовательности элементов типа
X, находящейся во входном файле. Возможны два варианта: 1) файл имеет
тип Text, создается с помощью стандартного текстового редактора и
просматривается тоже стандартными средствами; 2) файл имеет тип file
of X, создается и просматривается специальной отдельной программой
(или программами) генерации и просмотра.
Как и раньше, если противное явно не оговорено, под X понимается
произвольный алфавит из двух или более символов. Пустая последователь-
ность ("дельта") обозначается далее символом $, множество последова-
тельностей - W(X), W1(x) и т.п. Используются следующие обозначения ти-
пов: Z - Integer, N - натуральные, N0 - натуральные с нулем, S - Char,
B - Boolean, R - Real, R0 - неотрицательные Real, R+ - положительные
Real, R2 = R * R (декартово произведение).
Используется следующая специальная терминология:
а) отрезок - это связная подпоследовательность (т.е. подпоследо-
вательность подряд идущих элементов основной последовательности);
б) отрезок с некоторым заданным свойством (знакопостоянный, воз-
растающий и т.п.) предполагается максимально длинным, т.е. не является
частью другого отрезка с тем же свойством.
1. Величина числа, записанного в позиционной системе счисления с
основанием p, f: W1({0,1,...,p-1}) --> N0 (1<p<=10).
2. Число пар соседних элементов w, удовлетворяющих условию
P(x1,x2); f: W(X) --> N0. Варианты:
а) X=N, P(a,b)=(a>b);
б) X=N, P(a,b)=(НОД(a,b)=1);
в) X=N, P(a,b)=(e1(a)=e1(b)), где e1(a) - число единиц в двоичной
записи числа a;
г) X=N, P(a,b)=(Odd(a) & Odd(b).
3. Максимум среди сумм пар соседних элементов, т.е.
max{ x(i)+x(i+1) / 1<=i<n },
где n=Length(w) - длина последовательности w=x(1)x(2)...x(n). Здесь
f:W2(Z)-->Z.
4. Максимум среди сумм троек соседних элементов, т.е.
max{ x(i)+x(i+1)+x(i+2) / 1<=i<n-1 },
где n=Length(w) - длина последовательности w=x(1)x(2)...x(n). Здесь
f:W3(Z)-->Z.
5. Размах (разность максимального и минимального) значений эле-
ментов последовательности, f: W(Z) --> N0.
6. Число локальных максимумов, f: W(R) --> N0. (Элемент последо-
вательности называется локальным максимумом, если у него нет соседа
большего, чем сам элемент. В любой одноэлементной последовательности,
например, ровно один локальный максимум).
7. Число элементов числовой последовательности, больших всех пре-
дыдущих элементов, f: W(N) --> N0.
8. Число изменеий знака (переходов через ноль) числовой последо-
вательности, f: W(Z) --> N0.
9. Значение записанного по возрастающим степеням многочлена в
точке t0, f: W(R) --> R, f($)=0.
10. Значение производной записанного по возрастающим степеням
многочлена в точке t0, f: W(R) --> R, f($)=0.
11. Значение k-й производной записанного по убывающим степеням
многочлена в точке t0, f: W(R) --> R, f($)=0.
12. Размерность пространства, натянутого на последовательность
векторов R2, f: W(R2) --> { 0, 1, 2 }.
13. Последовательность обладает заданным свойством, f: W1(Z)-->B.
Варианты свойства:
а) последовательность возрастает;
б) все элементы последовательности одного знака;
в) последовательность знакочередующаяся;
г) последовательность ограничена сверху заданным порогом d, т.е.
состоит из элементов x(i) таких, что x(i)<=d, где d заданое число;
д) последовательность "пилообразна", т.е. каждый элемент является
строгим локальным минимумом или максимумом (строгий локальный минимум
(максимум) не имеет соседа равного или меньшего (большего), чем сам
этот элемент).
14. Количество отрезков с заданным свойством, f: W1(Z) --> N0.
Варианты свойства отрезка:
а) возрастающий;
б) состоящий из равных элементов;
в) знакочередующийся;
г) знакопостоянный;
д) ограниченный сверху заданным порогом d, т.е. состоящий из эле-
ментов x(i) таких, что x(i)<=d, где d заданое число;
е) ограниченный снизу и сверху заданными порогами d1 и d2, т.е.
состоящий из элементов x(i) таких, что d1<=x(i)<=d2, где d1 и d2 зада-
ные числа (d1<d2).
ж) "пилообразный" (см. задание 13.д).
15. Максимальная длина отрезков с заданным свойством, f: W1(Z)
--> N. Варианты свойства отрезка такие же, как в задании 14.
16. Средняя длина отрезков с заданным свойством, f: W1(Z) --> R0.
Варианты свойства отрезка такие же, как в задании 14.
17. Номер первого элемента с заданным свойством, f: W(Z) --> N0.
Варианты свойства элемента:
а) максимальный элемент;
б) равен заданному числу x0;
в) последний элемент отрезка с заданным свойством; свойство от-
резка - по вариантам задания 14.
18. Номер последнего элемента с заданным свойством, f: W(Z) -->
N0. Варианты свойства элемента:
а) максимальный элемент;
б) равен заданному числу x0;
в) первый элемент отрезка с заданным свойством; свойство от-
резка - по вариантам задания 14.
19. Среднее значение (заданного вида) элементов последовательнос-
ти, f: W(R) --> R. Варианты видов среднего значения:
а) среднее арифметическое xа последовательности w=x(1)x(2)...x(n)
длины n>0
xa=(x(1)+x(2)+...+x(n))/n;
б) среднее гармоническое xg последовательности положительных эле-
ментов w=x(1)x(2)...x(n) длины n>0 (f:W(R+)-->R+)
xg=n/(1/x(1)+1/x(2)+...+1/x(n));
в) среднее логарифмическое xl последовательности w=x(1)x(2)...x(n)
длины n>0
xa=x(1)+x(2)/2+...+x(n)/n;
г) среднее хронологическое xh последовательности w=x(1)x(2)...x(n)
длины n>0
xa=(x(1)/2+x(2)+...+x(n-1)+x(n)/2)/(n-1);
д) средний квадрат x2 последовательности w=x(1)x(2)...x(n)
длины n>0
x2=(sqr(x(1))+sqr(x(2))+...+sqr(x(n)))/n;
е) дисперсию d последовательности w=x(1)x(2)...x(n) длины n>0
d=(sqr(x(1)-xa)+sqr(x(2)-xa)+...+sqr(x(n)-xa))/n,
где xa определено в п.19.а;
ж) взвешенное среднее арифметическое xva последовательности
w=x(1)x(2)...x(n) с положительными весами v(1)v(2)...v(n) (f: W(R2)-->R)
xva=(x(1)*v(1)+x(2)*v(2)+...+x(n)*v(n))/(v(1)+v(2)+...+v(n));
з) взвешенное среднее гармоническое xvh последовательности
положительных элементов w=x(1)x(2)...x(n) с положительными весами
v(1)v(2)...v(n) (f: W((R+)*(R+))-->R+)
xvh=(v(1)+v(2)+...+v(n))/(v(1)/x(1)+v(2)/x(2)+...+v(n)/x(n));
и) взвешенный средний квадрат xv2 последовательности
w=x(1)x(2)...x(n) с положительными весами v(1)v(2)...v(n) (f: W(R2)-->R)
xv2=(sqr(x(1))*v(1)+...+sqr(x(n))*v(n))/(v(1)+v(2)+...+v(n));
к) взвешенную дисперсию dv последовательности w=x(1)x(2)...x(n) с
положительными весами v(1)v(2)...v(n) (f: W(R2)-->R)
dv=(sqr(x(1)-xva)*v(1)+...+sqr(x(n)-xva)*v(n))/(v(1)+v(2)+...+v(n)),
где xva определено в п.19.ж.
20. Длина возрастающего отрезка с заданным дополнительным свойс-
твом, f: W(Z) --> N. Варианты свойства отрезка:
а) с максимальным средним значением элементов; вид среднего - по
вариантам задания 19;
б) с минимальным средним значений элементов; вид среднего - по
вариантам задания 19;
в) с максимальным "размахом" значений элементов отрезка (о раз-
махе см.п.5);
г) с минимальным "размахом" значений элементов (о размахе
см.п.5);
в) с максимальной "крутизной" (крутизна возрастающего отрезка
x(i)x(i+1)...x(j) при j>i есть (x(j)-x(i))/(j-i).
21. Длина знакочередующегося отрезка числовой последовательности
с дополнительным свойством, f: W(N) --> N. Варианты свойства отрезка:
a) с максимальным "размахом" значений элементов (о размахе
см.п.5);
б) с минимальным "размахом" значений элементов (о размахе
см.п.5);
в) с максимальным средним значений элементов; вид среднего - по
вариантам задания 19;
г) с минимальным средним значений элементов; вид среднего - по
вариантам задания 19.
Литература
1. Ивановский С.А. Разработка корректных программ: Учеб.посо-
бие/ГЭТУ.-С.-Пб., 1996.
2. Кушниренко А.Г., Лебедев Г.В. Программирование для математи-
ков.- М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988 (гл.1, п.8)