Индуктивное расширение функции / INDTXT99

‡ Ђ „ Ђ — €
­  ⥬г
"€­¤гЄвЁў­лҐ дг­ЄжЁЁ ­  Їа®бва ­б⢥ Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®б⥩"

‚ ЇаЁўҐ¤Ґ­­ле ­Ё¦Ґ § ¤ з е гЄ § ­  дг­ЄжЁп f, §­ зҐ­ЁҐ Є®в®а®©
­ ¤® ўлзЁб«Ёвм. ’ॡгҐвбп ®ЇаҐ¤Ґ«Ёвм, пў«пҐвбп «Ё нв  дг­ЄжЁп Ё­¤гЄ-
вЁў­®©. …б«Ё ¤  - ўлЇЁб вм дг­ЄжЁо G(*,*), Ґб«Ё ­Ґв - ЇаЁ¤г¬ вм Ё­¤гЄ-
вЁў­®Ґ а биЁаҐ­ЁҐ Ё ўлЇЁб вм G ¤«п ­ҐЈ®.
Ќ ЇЁб вм ­  п§лЄҐ Џ бЄ «м Їа®Ја ¬¬г ўлзЁб«Ґ­Ёп гЄ § ­­®© дг­ЄжЁЁ
f(w), бзЁв п, зв® w - нв® б®бв®п­ЁҐ Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ н«Ґ¬Ґ­в®ў вЁЇ 
X, ­ е®¤п饩бп ў® ўе®¤­®¬ д ©«Ґ. ‚®§¬®¦­л ¤ў  ў аЁ ­в : 1) д ©« Ё¬ҐҐв
вЁЇ Text, ᮧ¤ Ґвбп б Ї®¬®ймо бв ­¤ ав­®Ј® ⥪бв®ў®Ј® । Єв®а  Ё
Їа®б¬ ваЁў Ґвбп ⮦Ґ бв ­¤ ав­л¬Ё б।бвў ¬Ё; 2) д ©« Ё¬ҐҐв вЁЇ file
of X, ᮧ¤ Ґвбп Ё Їа®б¬ ваЁў Ґвбп бЇҐжЁ «м­®© ®в¤Ґ«м­®© Їа®Ја ¬¬®©
(Ё«Ё Їа®Ја ¬¬ ¬Ё) ЈҐ­Ґа жЁЁ Ё Їа®б¬®ва .
Љ Є Ё а ­миҐ, Ґб«Ё Їа®вЁў­®Ґ пў­® ­Ґ ®Ј®ў®аҐ­®, Ї®¤ X Ї®­Ё¬ Ґвбп
Їа®Ё§ў®«м­л©  «д ўЁв Ё§ ¤ўге Ё«Ё Ў®«ҐҐ бЁ¬ў®«®ў. Џгбв п Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м-
­®бвм ("¤Ґ«мв ") ®Ў®§­ з Ґвбп ¤ «ҐҐ бЁ¬ў®«®¬ $, ¬­®¦Ґбвў® Ї®б«Ґ¤®ў -
⥫쭮б⥩ - W(X), W1(x) Ё в.Ї. €бЇ®«м§говбп б«Ґ¤гойЁҐ ®Ў®§­ зҐ­Ёп вЁ-
Ї®ў: Z - Integer, N - ­ вга «м­лҐ, N0 - ­ вга «м­лҐ б ­г«Ґ¬, S - Char,
B - Boolean, R - Real, R0 - ­Ґ®ваЁж вҐ«м­лҐ Real, R+ - Ї®«®¦ЁвҐ«м­лҐ
Real, R2 = R * R (¤ҐЄ ав®ў® Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­ЁҐ).
€бЇ®«м§гҐвбп б«Ґ¤гой п бЇҐжЁ «м­ п вҐа¬Ё­®«®ЈЁп:
 ) ®в१®Є - нв® бўп§­ п Ї®¤Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм (в.Ґ. Ї®¤Ї®б«Ґ¤®-
ў вҐ«м­®бвм Ї®¤ап¤ Ё¤гйЁе н«Ґ¬Ґ­в®ў ®б­®ў­®© Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ);
Ў) ®в१®Є б ­ҐЄ®в®ал¬ § ¤ ­­л¬ бў®©бвў®¬ (§­ Є®Ї®бв®п­­л©, ў®§-
а бв ойЁ© Ё в.Ї.) ЇаҐ¤Ї®« Ј Ґвбп ¬ ЄбЁ¬ «м­® ¤«Ё­­л¬, в.Ґ. ­Ґ пў«пҐвбп
з бвмо ¤агЈ®Ј® ®в१Є  б ⥬ ¦Ґ бў®©бвў®¬.

1. ‚Ґ«ЁзЁ­  зЁб« , § ЇЁб ­­®Ј® ў Ї®§ЁжЁ®­­®© бЁб⥬Ґ бзЁб«Ґ­Ёп б
®б­®ў ­ЁҐ¬ p, f: W1({0,1,...,p-1}) --> N0 (1<p<=10).
2. —Ёб«® Ї а б®бҐ¤­Ёе н«Ґ¬Ґ­в®ў w, 㤮ў«Ґвў®апойЁе гб«®ўЁо
P(x1,x2); f: W(X) --> N0. ‚ аЁ ­вл:
 ) X=N, P(a,b)=(a>b);
Ў) X=N, P(a,b)=(ЌЋ„(a,b)=1);
ў) X=N, P(a,b)=(e1(a)=e1(b)), Ј¤Ґ e1(a) - зЁб«® Ґ¤Ё­Ёж ў ¤ў®Ёз­®©
§ ЇЁбЁ зЁб«  a;
Ј) X=N, P(a,b)=(Odd(a) & Odd(b).
3. Њ ЄбЁ¬г¬ б।Ё б㬬 Ї а б®бҐ¤­Ёе н«Ґ¬Ґ­в®ў, в.Ґ.
max{ x(i)+x(i+1) / 1<=i<n },
Ј¤Ґ n=Length(w) - ¤«Ё­  Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ w=x(1)x(2)...x(n). ‡¤Ґбм
f:W2(Z)-->Z.
4. Њ ЄбЁ¬г¬ б।Ё б㬬 в஥Є б®бҐ¤­Ёе н«Ґ¬Ґ­в®ў, в.Ґ.
max{ x(i)+x(i+1)+x(i+2) / 1<=i<n-1 },
Ј¤Ґ n=Length(w) - ¤«Ё­  Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ w=x(1)x(2)...x(n). ‡¤Ґбм
f:W3(Z)-->Z.
5. ђ §¬ е (а §­®бвм ¬ ЄбЁ¬ «м­®Ј® Ё ¬Ё­Ё¬ «м­®Ј®) §­ зҐ­Ё© н«Ґ-
¬Ґ­в®ў Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ, f: W(Z) --> N0.
6. —Ёб«® «®Є «м­ле ¬ ЄбЁ¬г¬®ў, f: W(R) --> N0. (ќ«Ґ¬Ґ­в Ї®б«Ґ¤®-
ў вҐ«м­®бвЁ ­ §лў Ґвбп «®Є «м­л¬ ¬ ЄбЁ¬г¬®¬, Ґб«Ё г ­ҐЈ® ­Ґв б®бҐ¤ 
Ў®«м襣®, 祬 б ¬ н«Ґ¬Ґ­в. ‚ «оЎ®© ®¤­®н«Ґ¬Ґ­в­®© Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ,
­ ЇаЁ¬Ґа, а®ў­® ®¤Ё­ «®Є «м­л© ¬ ЄбЁ¬г¬).
7. —Ёб«® н«Ґ¬Ґ­в®ў зЁб«®ў®© Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ, Ў®«миЁе ўбҐе ЇаҐ-
¤л¤гйЁе н«Ґ¬Ґ­в®ў, f: W(N) --> N0.
8. —Ёб«® Ё§¬Ґ­ҐЁ© §­ Є  (ЇҐаҐе®¤®ў зҐаҐ§ ­®«м) зЁб«®ў®© Ї®б«Ґ¤®-
ў вҐ«м­®бвЁ, f: W(Z) --> N0.
9. ‡­ зҐ­ЁҐ § ЇЁб ­­®Ј® Ї® ў®§а бв ойЁ¬ б⥯Ґ­п¬ ¬­®Ј®з«Ґ­  ў
в®зЄҐ t0, f: W(R) --> R, f($)=0.
10. ‡­ зҐ­ЁҐ Їа®Ё§ў®¤­®© § ЇЁб ­­®Ј® Ї® ў®§а бв ойЁ¬ б⥯Ґ­п¬
¬­®Ј®з«Ґ­  ў в®зЄҐ t0, f: W(R) --> R, f($)=0.
11. ‡­ зҐ­ЁҐ k-© Їа®Ё§ў®¤­®© § ЇЁб ­­®Ј® Ї® гЎлў ойЁ¬ б⥯Ґ­п¬
¬­®Ј®з«Ґ­  ў в®зЄҐ t0, f: W(R) --> R, f($)=0.
12. ђ §¬Ґа­®бвм Їа®бва ­бвў , ­ вп­гв®Ј® ­  Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм
ўҐЄв®а®ў R2, f: W(R2) --> { 0, 1, 2 }.

13. Џ®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм ®Ў« ¤ Ґв § ¤ ­­л¬ бў®©бвў®¬, f: W1(Z)-->B.
‚ аЁ ­вл бў®©бвў :
 ) Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм ў®§а бв Ґв;
Ў) ўбҐ н«Ґ¬Ґ­вл Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ ®¤­®Ј® §­ Є ;
ў) Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм §­ Є®зҐаҐ¤гой пбп;
Ј) Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм ®Ја ­ЁзҐ­  ᢥаег § ¤ ­­л¬ Ї®а®Ј®¬ d, в.Ґ.
б®бв®Ёв Ё§ н«Ґ¬Ґ­в®ў x(i) в ЄЁе, зв® x(i)<=d, Ј¤Ґ d § ¤ ­®Ґ зЁб«®;
¤) Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм "ЇЁ«®®Ўа §­ ", в.Ґ. Є ¦¤л© н«Ґ¬Ґ­в пў«пҐвбп
бва®ЈЁ¬ «®Є «м­л¬ ¬Ё­Ё¬г¬®¬ Ё«Ё ¬ ЄбЁ¬г¬®¬ (бва®ЈЁ© «®Є «м­л© ¬Ё­Ё¬г¬
(¬ ЄбЁ¬г¬) ­Ґ Ё¬ҐҐв б®бҐ¤  а ў­®Ј® Ё«Ё ¬Ґ­м襣® (Ў®«м襣®), 祬 б ¬
нв®в н«Ґ¬Ґ­в).

14. Љ®«ЁзҐбвў® ®в१Є®ў б § ¤ ­­л¬ бў®©бвў®¬, f: W1(Z) --> N0.
‚ аЁ ­вл бў®©бвў  ®в१Є :
 ) ў®§а бв ойЁ©;
Ў) б®бв®пйЁ© Ё§ а ў­ле н«Ґ¬Ґ­в®ў;
ў) §­ Є®зҐаҐ¤гойЁ©бп;
Ј) §­ Є®Ї®бв®п­­л©;
¤) ®Ја ­ЁзҐ­­л© ᢥаег § ¤ ­­л¬ Ї®а®Ј®¬ d, в.Ґ. б®бв®пйЁ© Ё§ н«Ґ-
¬Ґ­в®ў x(i) в ЄЁе, зв® x(i)<=d, Ј¤Ґ d § ¤ ­®Ґ зЁб«®;
Ґ) ®Ја ­ЁзҐ­­л© б­Ё§г Ё ᢥаег § ¤ ­­л¬Ё Ї®а®Ј ¬Ё d1 Ё d2, в.Ґ.
б®бв®пйЁ© Ё§ н«Ґ¬Ґ­в®ў x(i) в ЄЁе, зв® d1<=x(i)<=d2, Ј¤Ґ d1 Ё d2 § ¤ -
­лҐ зЁб«  (d1<d2).
¦) "ЇЁ«®®Ўа §­л©" (б¬. § ¤ ­ЁҐ 13.¤).

15. Њ ЄбЁ¬ «м­ п ¤«Ё­  ®в१Є®ў б § ¤ ­­л¬ бў®©бвў®¬, f: W1(Z)
--> N. ‚ аЁ ­вл бў®©бвў  ®в१Є  в ЄЁҐ ¦Ґ, Є Є ў § ¤ ­ЁЁ 14.

16. ‘।­пп ¤«Ё­  ®в१Є®ў б § ¤ ­­л¬ бў®©бвў®¬, f: W1(Z) --> R0.
‚ аЁ ­вл бў®©бвў  ®в१Є  в ЄЁҐ ¦Ґ, Є Є ў § ¤ ­ЁЁ 14.

17. Ќ®¬Ґа ЇҐаў®Ј® н«Ґ¬Ґ­в  б § ¤ ­­л¬ бў®©бвў®¬, f: W(Z) --> N0.
‚ аЁ ­вл бў®©бвў  н«Ґ¬Ґ­в :
 ) ¬ ЄбЁ¬ «м­л© н«Ґ¬Ґ­в;
Ў) а ўҐ­ § ¤ ­­®¬г зЁб«г x0;
ў) Ї®б«Ґ¤­Ё© н«Ґ¬Ґ­в ®в१Є  б § ¤ ­­л¬ бў®©бвў®¬; бў®©бвў® ®в-
१Є  - Ї® ў аЁ ­в ¬ § ¤ ­Ёп 14.

18. Ќ®¬Ґа Ї®б«Ґ¤­ҐЈ® н«Ґ¬Ґ­в  б § ¤ ­­л¬ бў®©бвў®¬, f: W(Z) -->
N0. ‚ аЁ ­вл бў®©бвў  н«Ґ¬Ґ­в :
 ) ¬ ЄбЁ¬ «м­л© н«Ґ¬Ґ­в;
Ў) а ўҐ­ § ¤ ­­®¬г зЁб«г x0;
ў) ЇҐаўл© н«Ґ¬Ґ­в ®в१Є  б § ¤ ­­л¬ бў®©бвў®¬; бў®©бвў® ®в-
१Є  - Ї® ў аЁ ­в ¬ § ¤ ­Ёп 14.

19. ‘।­ҐҐ §­ зҐ­ЁҐ (§ ¤ ­­®Ј® ўЁ¤ ) н«Ґ¬Ґ­в®ў Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®б-
вЁ, f: W(R) --> R. ‚ аЁ ­вл ўЁ¤®ў б।­ҐЈ® §­ зҐ­Ёп:
 ) б।­ҐҐ  аЁд¬ҐвЁзҐбЄ®Ґ x  Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ w=x(1)x(2)...x(n)
¤«Ё­л n>0
xa=(x(1)+x(2)+...+x(n))/n;
Ў) б।­ҐҐ Ј а¬®­ЁзҐбЄ®Ґ xg Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ Ї®«®¦ЁвҐ«м­ле н«Ґ-
¬Ґ­в®ў w=x(1)x(2)...x(n) ¤«Ё­л n>0 (f:W(R+)-->R+)
xg=n/(1/x(1)+1/x(2)+...+1/x(n));
ў) б।­ҐҐ «®Ј аЁд¬ЁзҐбЄ®Ґ xl Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ w=x(1)x(2)...x(n)
¤«Ё­л n>0
xa=x(1)+x(2)/2+...+x(n)/n;
Ј) б।­ҐҐ еа®­®«®ЈЁзҐбЄ®Ґ xh Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ w=x(1)x(2)...x(n)
¤«Ё­л n>0
xa=(x(1)/2+x(2)+...+x(n-1)+x(n)/2)/(n-1);
¤) б।­Ё© Єў ¤а в x2 Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ w=x(1)x(2)...x(n)
¤«Ё­л n>0
x2=(sqr(x(1))+sqr(x(2))+...+sqr(x(n)))/n;
Ґ) ¤ЁбЇҐабЁо d Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ w=x(1)x(2)...x(n) ¤«Ё­л n>0
d=(sqr(x(1)-xa)+sqr(x(2)-xa)+...+sqr(x(n)-xa))/n,
Ј¤Ґ xa ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­® ў Ї.19. ;
¦) ў§ўҐиҐ­­®Ґ б।­ҐҐ  аЁд¬ҐвЁзҐбЄ®Ґ xva Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ
w=x(1)x(2)...x(n) б Ї®«®¦ЁвҐ«м­л¬Ё ўҐб ¬Ё v(1)v(2)...v(n) (f: W(R2)-->R)
xva=(x(1)*v(1)+x(2)*v(2)+...+x(n)*v(n))/(v(1)+v(2)+...+v(n));
§) ў§ўҐиҐ­­®Ґ б।­ҐҐ Ј а¬®­ЁзҐбЄ®Ґ xvh Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ
Ї®«®¦ЁвҐ«м­ле н«Ґ¬Ґ­в®ў w=x(1)x(2)...x(n) б Ї®«®¦ЁвҐ«м­л¬Ё ўҐб ¬Ё
v(1)v(2)...v(n) (f: W((R+)*(R+))-->R+)
xvh=(v(1)+v(2)+...+v(n))/(v(1)/x(1)+v(2)/x(2)+...+v(n)/x(n));
Ё) ў§ўҐиҐ­­л© б।­Ё© Єў ¤а в xv2 Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ
w=x(1)x(2)...x(n) б Ї®«®¦ЁвҐ«м­л¬Ё ўҐб ¬Ё v(1)v(2)...v(n) (f: W(R2)-->R)
xv2=(sqr(x(1))*v(1)+...+sqr(x(n))*v(n))/(v(1)+v(2)+...+v(n));
Є) ў§ўҐиҐ­­го ¤ЁбЇҐабЁо dv Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ w=x(1)x(2)...x(n) б
Ї®«®¦ЁвҐ«м­л¬Ё ўҐб ¬Ё v(1)v(2)...v(n) (f: W(R2)-->R)
dv=(sqr(x(1)-xva)*v(1)+...+sqr(x(n)-xva)*v(n))/(v(1)+v(2)+...+v(n))
Ј¤Ґ xva ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­® ў Ї.19.¦.

20. „«Ё­  ў®§а бв о饣® ®в१Є  б § ¤ ­­л¬ ¤®Ї®«­ЁвҐ«м­л¬ бў®©б-
вў®¬, f: W(Z) --> N. ‚ аЁ ­вл бў®©бвў  ®в१Є :
 ) б ¬ ЄбЁ¬ «м­л¬ б।­Ё¬ §­ зҐ­ЁҐ¬ н«Ґ¬Ґ­в®ў; ўЁ¤ б।­ҐЈ® - Ї®
ў аЁ ­в ¬ § ¤ ­Ёп 19;
Ў) б ¬Ё­Ё¬ «м­л¬ б।­Ё¬ §­ зҐ­Ё© н«Ґ¬Ґ­в®ў; ўЁ¤ б।­ҐЈ® - Ї®
ў аЁ ­в ¬ § ¤ ­Ёп 19;
ў) б ¬ ЄбЁ¬ «м­л¬ "а §¬ е®¬" §­ зҐ­Ё© н«Ґ¬Ґ­в®ў ®в१Є  (® а §-
¬ еҐ б¬.Ї.5);
Ј) б ¬Ё­Ё¬ «м­л¬ "а §¬ е®¬" §­ зҐ­Ё© н«Ґ¬Ґ­в®ў (® а §¬ еҐ
б¬.Ї.5);
ў) б ¬ ЄбЁ¬ «м­®© "ЄагвЁ§­®©" (ЄагвЁ§­  ў®§а бв о饣® ®в१Є 
x(i)x(i+1)...x(j) ЇаЁ j>i Ґбвм (x(j)-x(i))/(j-i).

21. „«Ё­  §­ Є®зҐаҐ¤го饣®бп ®в१Є  зЁб«®ў®© Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ
б ¤®Ї®«­ЁвҐ«м­л¬ бў®©бвў®¬, f: W(N) --> N. ‚ аЁ ­вл бў®©бвў  ®в१Є :
a) б ¬ ЄбЁ¬ «м­л¬ "а §¬ е®¬" §­ зҐ­Ё© н«Ґ¬Ґ­в®ў (® а §¬ еҐ
б¬.Ї.5);
Ў) б ¬Ё­Ё¬ «м­л¬ "а §¬ е®¬" §­ зҐ­Ё© н«Ґ¬Ґ­в®ў (® а §¬ еҐ
б¬.Ї.5);
ў) б ¬ ЄбЁ¬ «м­л¬ б।­Ё¬ §­ зҐ­Ё© н«Ґ¬Ґ­в®ў; ўЁ¤ б।­ҐЈ® - Ї®
ў аЁ ­в ¬ § ¤ ­Ёп 19;
Ј) б ¬Ё­Ё¬ «м­л¬ б।­Ё¬ §­ зҐ­Ё© н«Ґ¬Ґ­в®ў; ўЁ¤ б।­ҐЈ® - Ї®
ў аЁ ­в ¬ § ¤ ­Ёп 19.

‹ЁвҐа вга 
1. €ў ­®ўбЄЁ© ‘.Ђ. ђ §а Ў®вЄ  Є®а४в­ле Їа®Ја ¬¬: “祡.Ї®б®-
ЎЁҐ/ѓќ’“.-‘.-ЏЎ., 1996.
2. Љг譨७Є® Ђ.ѓ., ‹ҐЎҐ¤Ґў ѓ.‚. Џа®Ја ¬¬Ёа®ў ­ЁҐ ¤«п ¬ вҐ¬ вЁ-
Є®ў.- Њ.: Ќ гЄ , ѓ«. ।. дЁ§.-¬ в. «Ёв., 1988 (Ј«.1, Ї.8)