4.5.2. Операции над высказываниями

Из заданных высказываний можно получить новые с помощью логических операций (или логических связок, функторов), имеющих специальные названия: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность, строгая дизъюнкция, отрицание. Хотя эти названия звучат непривычно, они означают лишь хорошо известные связки «и», «или», «если ..., то ...», «тогда и только тогда, когда ...», «или ..., или ...», а также присоединение к высказыванию частицы «не».

Высказывания будем обозначать строчными буквами латинского алфавита: а, b, с и т.д.

О трицанием (логическим «НЕ») высказывания а называют такое высказывание  а, которое ложно, если а истинно, и истинно, если а ложно.

Отрицание является унарной связкой, т.е. оно из одной формулы образует другую, более сложную формулу: из произвольной формулы а формулу  а. Обозначение  а читается так¹: «Не а», или «Неверно, что а». Обычно для построения отрицания данного высказывания надо присоединить к сказуемому частицу «не» или, если она уже есть, опустить её. Например, для высказывания а («Сейчас небо синее») отрицание будет  а («Сейчас небо не синее») или  а («Сейчас небо не является синим»).

К онъюнкцией (логическим «И») двух высказываний а и b называется такое высказывание а  b (читается «а и b»)², которое истинно только тогда, когда истинны оба составляющих его высказывания; в остальных случаях – ложно.

Поясним данное определение на примерах. Высказывание «число 2 чётное и простое» сложное, оно состоит из двух высказываний: а («число 2 чётное») и b («число 2 простое»), связанных союзом «и». Оба эти высказывания истинны. Истинным является и сложное высказывание, которое есть конъюнкция высказываний а и b. А вот высказывание «число 12 чётное и простое» является ложным. Оно есть конъюнкция двух высказываний а («число 12 чётное») и b («число 12 простое»). Первое высказывание истинно, а второе ложно. Поэтому ложным является также и их конъюнкция.

Конъюнкция, равно как и логические операции, приведенные ниже, являются бинарными связками, т. е. они из двух формул образуют новую, более сложную формулу.

Д изъюнкцией (или неисключающей дизъюнкцией, логическим «ИЛИ») двух высказываний а и b называется высказывание а  b (читается: «а или b»), которое ложно только тогда, когда ложны оба составляющие его высказывания; в остальных случаях – истинно.

Например, сложное высказывание «письменное доказательство представлено в подлиннике или в форме надлежащим образом заверенной копии» будет истинным, если суду будет предъявлен хотя бы один из указанных документов.

В некоторых контекстах естественного языка союз «или» имеет иной смысл. Так, в высказывании «Подозреваемый находился или дома, или у приятеля» выражается мысль о наличии только одной из двух ситуаций, т.е. утверждается их альтернативность, невозможность одновременного присутствия подозреваемого в разных местах. В этих случаях союз «или» не может быть заменён неисключающей дизъюнкцией (символом «»), ему будет соответствовать иная связка, которая называется строгой дизъюнкцией.

И мпликацией двух высказываний а и b называется такое высказывание а  b (читается: «если а, то b»; «из а следует b»; «а влечёт b»; «а достаточное условие b», «а имплицирует b»), которое ложно тогда и только тогда, когда а истинно, а b  ложно; в остальных случаях – истинно. Высказывание а называют условием (или посылкой, антецедентом), a высказывание b  заключением (или следствием, консеквентом).

Попробуем на примере разобраться с этой логической операцией. Рассмотрим два высказывания: а («проведение экспертизы поручено двум экспертам») и b («эксперты вправе совещаться между собой»). Импликация а  b в этом случае означает: «если проведение экспертизы поручено двум экспертам, то они вправе совещаться между собой». Когда высказываниям а и b истинны, то истинно и высказывание а  b. Но также ясно, что если проведение экспертизы не поручено двум экспертам и они не вправе совещаться между собой, то никакого противоречия не возникает. Поэтому импликация а  b и в этом случае истинна. Единственным вариантом, когда импликация а  b ложна, является истинность высказывания а и ложность высказывания b.

В предложениях естественного языка условие не всегда предшествуют заключению. Например, условие высказывания «Граждане совершают преступные деяния, если они имеют мотив для совершения преступления» – его вторая часть, а заключение – первая.

Союз «если …, то …» во многих случаях несёт и дополнительную смысловую нагрузку – выражает связь между положениями дел, при которой одно из них обусловливает другое. Например, в приведённом только что высказывании не просто констатируется отсутствие такой ситуации, что у граждан имеется мотив для совершения преступления, а они не совершают преступные деяния, но также указывается, что совершение гражданами преступления обусловлено фактом наличия у них соответствующего мотива.

Э квивалентностью двух высказываний а и b называется такое высказывание а  b, которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания а и b либо истинны, либо оба ложны. Запись а  b читается так: «а тогда и только тогда, когда b», или «для того, чтобы а, необходимо и достаточно, чтобы b», «а эквивалентно b».

Часто для обозначения эквивалентность применяют и другие знаки: «», «~». Тогда запись а  b читается так: «а эквивалентно b». Проиллюстрируем её на примере высказывания «Для того, чтобы привлечь ответчика к ответственности, необходимо и достаточно доказать его вину». Здесь высказывания а («ответчик привлекается к ответственности») и b («вина ответчика доказана»). Формулировка исходного высказывания включает в себя две импликации: 1) если ответчик привлекается к ответственности, то вина его доказана (импликация а  b); 2) если вина ответчика доказана, то он привлекается к ответственности (обратная импликация b  а, которая получается из а  b перестановкой условия и заключения местами). В связи с этим эквивалентность иногда называют двойной импликацией.

С трогой (или исключающей) дизъюнкцией (или неэквивалентностью) двух высказываний а и b называется такое высказывание а  b, которое истинно только тогда, когда одно из высказываний истинно, а другое – ложно³. Запись а  b читается так: «или а, или b», «либо а, либо b) или «а исключает b».