4.1.1. Понятие и способы задания множества

Понятие множества так же, как и понятия точки, числа и т.д., является одним из наиболее общих понятий, для которых нет строгого определения. Мы можем лишь, в какой-мере объяснить такое понятие, описав его основные свойства.

Кантор описывает множество следующим образом.

М ножество есть любое собрание определённых и различимых между собой объектов нашей интуиции и интеллекта, мыслимое как единое целое.

Все объекты, входящие во множество, обладают тремя важными свойствами. Во-первых, они мыслятся как единое целое. Во-вторых, они отличимы друг от друга. И, в-третьих, для каждого объекта можно однозначно сказать, принадлежит ли он данному множеству или нет.

Множества обычно обозначают прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, ..., Z. Примерами множеств являются: множество студентов Российской академии правосудия, множество судов и т.п.

О бъекты, составляющие множество, называются его элементами или точками и обозначаются строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, …, z.

То, что элемент а входит в множество А, записывается так: а  А (читается: а есть элемент множества А или а принадлежит множеству А). Запись а  А означает, что элемент а не принадлежит множеству А.

Различают конечные множества и бесконечные.

К онечное множество состоит из конечного числа элементов.

Число элементов в конечном множестве А называют мощностью (или кардинальным числом) и обозначают .

Количество элементов в бесконечном множестве подсчёту не поддаётся.

Термин «множество» употребляется независимо от того, много или мало в этом множестве элементов.

М ножество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом .

Чтобы задать множество, нужно указать, какие элементы ему принадлежат. Это можно сделать различными способами:

1. Перечислением элементов: А = {а₁, а₂, … , а_k}. Например, множество студентов в учебной группе задаётся перечислением фамилий в журнале учёта занятий. Это нетрудно сделать, так как такое множество содержит конечное число элементов. Однако не всякое конечное множество можно задать перечислением. Множества птиц на нашей планете или рыб в океане тоже конечные, но попробуйте их перечислить (или пересчитать)! Тем более нельзя перечислить все элементы бесконечного множества.

2. Характеристическим свойством: А = {а  Р(а)}. Характеристическое свойство (предикат) – это некоторое условие Р, выраженное в форме логического утверждения относительно элемента а. Если для данного элемента а условие выполнено, то он принадлежит определяемому множеству А, в противном случае – а  А.

3. Порождающей процедурой: А = {а  а : = f }. Порождающая процедура – это процедура f, которая, будучи запущенной, порождает некоторые объекты, являющиеся элементами определяемого множества. Например, процедура расследования уголовного преступления предусматривает подбор множества свидетелей, представляемых стороной обвинения в ходе последующего судебного разбирательства.

Е сли каждый элемент множества А является в то же время элементом множества В, то говорят, что А  подмножество в множестве В (или В включает А), и пишут А  В.

Приведём примеры подмножеств: множество студентов 1 курса Центрального филиала РАП есть подмножество всех студентов этого филиала; множество гражданско-правовых исков есть подмножество всех исков, входящих в компетенцию судов общей юрисдикции.

Е сли одновременно с отношением А  В имеет место отношение В  А, то такие два множества равны: А  = В, т. е. А и В состоят из одних и тех же элементов.

Для наглядной иллюстрации множеств удобно пользоваться так называемыми диаграммами Эйлера-Венна.

Д иаграмма Эйлера-Венна  это замкнутая линия, внутри которой расположены элементы данного множества.

Пример диаграммы множества А = {а₁, а₃, а₇} изображён на рис. 4.1. Отношение А  В изображено с помощью диаграммы на рис. 4.2.

О бычно в конкретных рассуждениях элементы всех множеств берутся из некоторого одного, достаточно широкого множества Е (своего для каждого случая), которое называется универсальным множеством (или универсумом).

В качестве примера возьмём множество книг. В это множество входят подмножества научных, художественных книг, книг по искусству. Среди научных книг есть подмножества книг по математике, информатике, юриспруденции и т. д. Множество всех книг  это универсальное множество, содержащее в себе очень много различных подмножеств книг.

Рис. 4.1 Рис. 4.2

Для информационных процессов важную роль играют числовые множества – множества, элементами которых являются действительные числа. Напомним известные вам из школьного курса алгебры сведения.

Ц елыми называются числа 0, ±1, ±2, …. Множество целых чисел принято обозначать буквой Z = {…, 2, 1, 0, 1, 2, …}.

Натуральные числа – целые положительные числа. Множество натуральных чисел принято обозначать буквой N = {1, 2, 3, …}.

Простые числа – натуральные числа, большее, чем единица, и не имеющее других делителей, кроме самого себя и единицы. Множество простых чисел будем обозначать буквой P = {2, 3, 5, 7, 11, 13,…}.

Числа целые и дробные, как положительные, так и отрицательные, вместе с числом нуль называются рациональными числами. Множество рациональных чисел принято обозначать буквой Q.

Каждое рациональное число может быть представлено в виде отношения двух целых чисел p и q, например, , . В частности, целое число p можно рассматривать как отношение двух целых чисел , например , .

Рациональные числа могут быть представлены в виде конечных или бесконечных периодических дробей.

Ч исла, которые представляются бесконечными, но непериодическими дробями, называются иррациональными числами: таковы числа , , и т.д. Множество иррациональных чисел принято обозначать буквой I. Совокупность всех рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных (или вещественных) чисел R = ( ).

Действительные числа упорядочены по величине, т.е. для каждой пары действительных чисел х и у имеет место одно, и только одно, из соотношений:

x < y, x = y, x > y.

Очевидно, что , .